Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53191 / 94020
↖ ↑ ↗
← S 61.359880°
W 33.906555°		 ← 146.39 m → S 61.359880°
W 33.903809°		 →
↑
146.41 m
↓
↑
146.41 m
↓
S 61.361196°
W 33.906555°		 ← 146.39 m →
21 432 m²		 S 61.361196°
W 33.903809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405818939208984 y=0.717319488525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405818939208984 × 217)
    floor (0.405818939208984 × 131072)
    floor (53191.5)     		tx = 53191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717319488525391 × 217)
    floor (0.717319488525391 × 131072)
    floor (94020.5)     		ty = 94020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53191 / 94020 ti = "17/53191/94020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53191/94020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53191 ÷ 217
    53191 ÷ 131072     		x = 0.405815124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94020 ÷ 217
    94020 ÷ 131072     		y = 0.717315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405815124511719 × 2 - 1) × π
    -0.188369750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.59178103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717315673828125 × 2 - 1) × π
    -0.43463134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.36543464877768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59178103} λ = -0.59178103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36543464877768))-π/2
    2×atan(0.255269699209124)-π/2
    2×0.249932197431194-π/2
    0.499864394862388-1.57079632675     		φ = -1.07093193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59178103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.906555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07093193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.359880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53191 KachelY 94020 -0.59178103 -1.07093193 -33.906555 -61.359880
    Oben rechts KachelX + 1 53192 KachelY 94020 -0.59173309 -1.07093193 -33.903809 -61.359880
    Unten links KachelX 53191 KachelY + 1 94021 -0.59178103 -1.07095491 -33.906555 -61.361196
    Unten rechts KachelX + 1 53192 KachelY + 1 94021 -0.59173309 -1.07095491 -33.903809 -61.361196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07093193--1.07095491) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dl = 146.405580000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07093193--1.07095491) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dr = 146.405580000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59178103--0.59173309) × cos(-1.07093193) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479306531188539 × 6371000     		do = 146.392551975336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59178103--0.59173309) × cos(-1.07095491) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479286362720931 × 6371000     		du = 146.386392006192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07093193)-sin(-1.07095491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479306531188539-0.479286362720931)×R²
    abs(-0.59173309--0.59178103)×2.01684676087166e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01684676087166e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01684676087166e-05×40589641000000     		ar = 21432.2355536413m²