Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53190 / 102094
↖ ↑ ↗
← S 70.331684°
W 33.909302°		 ← 102.78 m → S 70.331684°
W 33.906555°		 →
↑
102.83 m
↓
↑
102.83 m
↓
S 70.332609°
W 33.909302°		 ← 102.77 m →
10 568 m²		 S 70.332609°
W 33.906555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405811309814453 y=0.778919219970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405811309814453 × 217)
    floor (0.405811309814453 × 131072)
    floor (53190.5)     		tx = 53190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778919219970703 × 217)
    floor (0.778919219970703 × 131072)
    floor (102094.5)     		ty = 102094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53190 / 102094 ti = "17/53190/102094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53190/102094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53190 ÷ 217
    53190 ÷ 131072     		x = 0.405807495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102094 ÷ 217
    102094 ÷ 131072     		y = 0.778915405273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405807495117188 × 2 - 1) × π
    -0.188385009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59182896
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778915405273438 × 2 - 1) × π
    -0.557830810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75247717631001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59182896} λ = -0.59182896}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75247717631001))-π/2
    2×atan(0.173344007487878)-π/2
    2×0.17163843117195-π/2
    0.343276862343901-1.57079632675     		φ = -1.22751946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59182896} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.909302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22751946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.331684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53190 KachelY 102094 -0.59182896 -1.22751946 -33.909302 -70.331684
    Oben rechts KachelX + 1 53191 KachelY 102094 -0.59178103 -1.22751946 -33.906555 -70.331684
    Unten links KachelX 53190 KachelY + 1 102095 -0.59182896 -1.22753560 -33.909302 -70.332609
    Unten rechts KachelX + 1 53191 KachelY + 1 102095 -0.59178103 -1.22753560 -33.906555 -70.332609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22751946--1.22753560) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dl = 102.82794000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22751946--1.22753560) × R
    1.61400000000533e-05 × 6371000     		dr = 102.82794000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59182896--0.59178103) × cos(-1.22751946) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.336574577604728 × 6371000     		do = 102.777096263597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59182896--0.59178103) × cos(-1.22753560) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.336559379219926 × 6371000     		du = 102.772455253961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22751946)-sin(-1.22753560))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336574577604728-0.336559379219926)×R²
    abs(-0.59178103--0.59182896)×1.51983848020731e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51983848020731e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51983848020731e-05×40589641000000     		ar = 10568.1184756232m²