Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5319 / 6072
↖ ↑ ↗
← S 65.219894°
E 53.745117°		 ← 2 048.11 m → S 65.219894°
E 53.789062°		 →
↑
2 047.38 m
↓
↑
2 047.38 m
↓
S 65.238307°
E 53.745117°		 ← 2 046.68 m →
4 191 808 m²		 S 65.238307°
E 53.789062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64935302734375 y=0.74127197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64935302734375 × 213)
    floor (0.64935302734375 × 8192)
    floor (5319.5)     		tx = 5319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74127197265625 × 213)
    floor (0.74127197265625 × 8192)
    floor (6072.5)     		ty = 6072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5319 / 6072 ti = "13/5319/6072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5319/6072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5319 ÷ 213
    5319 ÷ 8192     		x = 0.6492919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6072 ÷ 213
    6072 ÷ 8192     		y = 0.7412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6492919921875 × 2 - 1) × π
    0.298583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.93802925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7412109375 × 2 - 1) × π
    -0.482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5155730183877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93802925} λ = 0.93802925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5155730183877))-π/2
    2×atan(0.219682266796203)-π/2
    2×0.216247219913032-π/2
    0.432494439826064-1.57079632675     		φ = -1.13830189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93802925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.745117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13830189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.219894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5319 KachelY 6072 0.93802925 -1.13830189 53.745117 -65.219894
    Oben rechts KachelX + 1 5320 KachelY 6072 0.93879624 -1.13830189 53.789062 -65.219894
    Unten links KachelX 5319 KachelY + 1 6073 0.93802925 -1.13862325 53.745117 -65.238307
    Unten rechts KachelX + 1 5320 KachelY + 1 6073 0.93879624 -1.13862325 53.789062 -65.238307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13830189--1.13862325) × R
    0.000321360000000048 × 6371000     		dl = 2047.38456000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13830189--1.13862325) × R
    0.000321360000000048 × 6371000     		dr = 2047.38456000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93802925-0.93879624) × cos(-1.13830189) × R
    0.000766989999999912 × 0.419136860759979 × 6371000     		do = 2048.10945769507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93802925-0.93879624) × cos(-1.13862325) × R
    0.000766989999999912 × 0.41884506896623 × 6371000     		du = 2046.68361905284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13830189)-sin(-1.13862325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419136860759979-0.41884506896623)×R²
    abs(0.93879624-0.93802925)×0.000291791793748386×R²
    0.000766989999999912×0.000291791793748386×6371000²
    0.000766989999999912×0.000291791793748386×40589641000000     		ar = 4191808.09694007m²