Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53188 / 102098
↖ ↑ ↗
← S 70.335382°
W 33.914795°		 ← 102.78 m → S 70.335382°
W 33.912048°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
S 70.336306°
W 33.914795°		 ← 102.78 m →
10 562 m²		 S 70.336306°
W 33.912048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405796051025391 y=0.778949737548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405796051025391 × 217)
    floor (0.405796051025391 × 131072)
    floor (53188.5)     		tx = 53188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778949737548828 × 217)
    floor (0.778949737548828 × 131072)
    floor (102098.5)     		ty = 102098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53188 / 102098 ti = "17/53188/102098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53188/102098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53188 ÷ 217
    53188 ÷ 131072     		x = 0.405792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102098 ÷ 217
    102098 ÷ 131072     		y = 0.778945922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405792236328125 × 2 - 1) × π
    -0.18841552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59192484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778945922851562 × 2 - 1) × π
    -0.557891845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75266892390849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59192484} λ = -0.59192484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75266892390849))-π/2
    2×atan(0.173310772377209)-π/2
    2×0.17160616540194-π/2
    0.343212330803881-1.57079632675     		φ = -1.22758400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59192484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.914795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22758400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.335382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53188 KachelY 102098 -0.59192484 -1.22758400 -33.914795 -70.335382
    Oben rechts KachelX + 1 53189 KachelY 102098 -0.59187690 -1.22758400 -33.912048 -70.335382
    Unten links KachelX 53188 KachelY + 1 102099 -0.59192484 -1.22760013 -33.914795 -70.336306
    Unten rechts KachelX + 1 53189 KachelY + 1 102099 -0.59187690 -1.22760013 -33.912048 -70.336306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22758400--1.22760013) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dl = 102.764229999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22758400--1.22760013) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dr = 102.764229999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59192484--0.59187690) × cos(-1.22758400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336513802373065 × 6371000     		do = 102.77997710994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59192484--0.59187690) × cos(-1.22760013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336498613054541 × 6371000     		du = 102.775337901089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22758400)-sin(-1.22760013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336513802373065-0.336498613054541)×R²
    abs(-0.59187690--0.59192484)×1.5189318524178e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5189318524178e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5189318524178e-05×40589641000000     		ar = 10561.866834844m²