Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53187 / 11458
↖ ↑ ↗
← N 81.439319°
W 33.917541°		 ← 45.46 m → N 81.439319°
W 33.914795°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
N 81.438910°
W 33.917541°		 ← 45.46 m →
2 068 m²		 N 81.438910°
W 33.914795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53187 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405788421630859 y=0.0874214172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405788421630859 × 217)
    floor (0.405788421630859 × 131072)
    floor (53187.5)     		tx = 53187
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0874214172363281 × 217)
    floor (0.0874214172363281 × 131072)
    floor (11458.5)     		ty = 11458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53187 / 11458 ti = "17/53187/11458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53187/11458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53187 ÷ 217
    53187 ÷ 131072     		x = 0.405784606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11458 ÷ 217
    11458 ÷ 131072     		y = 0.0874176025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405784606933594 × 2 - 1) × π
    -0.188430786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.59197277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0874176025390625 × 2 - 1) × π
    0.825164794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.5923316576534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59197277} λ = -0.59197277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5923316576534))-π/2
    2×atan(13.3608883298518)-π/2
    2×1.49609029286048-π/2
    2.99218058572095-1.57079632675     		φ = 1.42138426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59197277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.917541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42138426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.439319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53187 KachelY 11458 -0.59197277 1.42138426 -33.917541 81.439319
    Oben rechts KachelX + 1 53188 KachelY 11458 -0.59192484 1.42138426 -33.914795 81.439319
    Unten links KachelX 53187 KachelY + 1 11459 -0.59197277 1.42137712 -33.917541 81.438910
    Unten rechts KachelX + 1 53188 KachelY + 1 11459 -0.59192484 1.42137712 -33.914795 81.438910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42138426-1.42137712) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42138426-1.42137712) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59197277--0.59192484) × cos(1.42138426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148856775330327 × 6371000     		do = 45.4552070941503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59197277--0.59192484) × cos(1.42137712) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148863835778126 × 6371000     		du = 45.4573630868231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42138426)-sin(1.42137712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148856775330327-0.148863835778126)×R²
    abs(-0.59192484--0.59197277)×7.06044779960613e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06044779960613e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06044779960613e-06×40589641000000     		ar = 2067.7582252348m²