Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53184 / 94227
↖ ↑ ↗
← S 61.631202°
W 33.925781°		 ← 145.09 m → S 61.631202°
W 33.923035°		 →
↑
145.13 m
↓
↑
145.13 m
↓
S 61.632507°
W 33.925781°		 ← 145.09 m →
21 057 m²		 S 61.632507°
W 33.923035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405765533447266 y=0.718898773193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405765533447266 × 217)
    floor (0.405765533447266 × 131072)
    floor (53184.5)     		tx = 53184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718898773193359 × 217)
    floor (0.718898773193359 × 131072)
    floor (94227.5)     		ty = 94227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53184 / 94227 ti = "17/53184/94227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53184/94227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53184 ÷ 217
    53184 ÷ 131072     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94227 ÷ 217
    94227 ÷ 131072     		y = 0.718894958496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718894958496094 × 2 - 1) × π
    -0.437789916992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.37535758699903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37535758699903))-π/2
    2×atan(0.252749199815625)-π/2
    2×0.24756446685904-π/2
    0.495128933718081-1.57079632675     		φ = -1.07566739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07566739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.631202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53184 KachelY 94227 -0.59211658 -1.07566739 -33.925781 -61.631202
    Oben rechts KachelX + 1 53185 KachelY 94227 -0.59206865 -1.07566739 -33.923035 -61.631202
    Unten links KachelX 53184 KachelY + 1 94228 -0.59211658 -1.07569017 -33.925781 -61.632507
    Unten rechts KachelX + 1 53185 KachelY + 1 94228 -0.59206865 -1.07569017 -33.923035 -61.632507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07566739--1.07569017) × R
    2.2779999999889e-05 × 6371000     		dl = 145.131379999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07566739--1.07569017) × R
    2.2779999999889e-05 × 6371000     		dr = 145.131379999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.59206865) × cos(-1.07566739) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.475145107667063 × 6371000     		do = 145.091274621872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.59206865) × cos(-1.07569017) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.475125063251992 × 6371000     		du = 145.085153818596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07566739)-sin(-1.07569017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475145107667063-0.475125063251992)×R²
    abs(-0.59206865--0.59211658)×2.00444150711965e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.00444150711965e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.00444150711965e-05×40589641000000     		ar = 21056.8527522264m²