Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53184 / 11456
↖ ↑ ↗
← N 81.440137°
W 33.925781°		 ← 45.45 m → N 81.440137°
W 33.923035°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
N 81.439728°
W 33.925781°		 ← 45.45 m →
2 068 m²		 N 81.439728°
W 33.923035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405765533447266 y=0.0874061584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405765533447266 × 217)
    floor (0.405765533447266 × 131072)
    floor (53184.5)     		tx = 53184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0874061584472656 × 217)
    floor (0.0874061584472656 × 131072)
    floor (11456.5)     		ty = 11456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53184 / 11456 ti = "17/53184/11456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53184/11456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53184 ÷ 217
    53184 ÷ 131072     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11456 ÷ 217
    11456 ÷ 131072     		y = 0.08740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08740234375 × 2 - 1) × π
    0.8251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59242753145264))-π/2
    2×atan(13.3621693503844)-π/2
    2×1.49609742825458-π/2
    2.99219485650916-1.57079632675     		φ = 1.42139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.440137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53184 KachelY 11456 -0.59211658 1.42139853 -33.925781 81.440137
    Oben rechts KachelX + 1 53185 KachelY 11456 -0.59206865 1.42139853 -33.923035 81.440137
    Unten links KachelX 53184 KachelY + 1 11457 -0.59211658 1.42139139 -33.925781 81.439728
    Unten rechts KachelX + 1 53185 KachelY + 1 11457 -0.59206865 1.42139139 -33.923035 81.439728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42139853-1.42139139) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dl = 45.4889400008129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42139853-1.42139139) × R
    7.1400000001276e-06 × 6371000     		dr = 45.4889400008129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.59206865) × cos(1.42139853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14884266430057 × 6371000     		do = 45.4508981214585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.59206865) × cos(1.42139139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148849724763537 × 6371000     		du = 45.4530541187626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42139853)-sin(1.42139139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14884266430057-0.148849724763537)×R²
    abs(-0.59206865--0.59211658)×7.06046296616858e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06046296616858e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06046296616858e-06×40589641000000     		ar = 2067.56221465981m²