Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53184 / 101952
↖ ↑ ↗
← S 70.199994°
W 33.925781°		 ← 103.44 m → S 70.199994°
W 33.923035°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 70.200924°
W 33.925781°		 ← 103.43 m →
10 702 m²		 S 70.200924°
W 33.923035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405765533447266 y=0.777835845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405765533447266 × 217)
    floor (0.405765533447266 × 131072)
    floor (53184.5)     		tx = 53184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777835845947266 × 217)
    floor (0.777835845947266 × 131072)
    floor (101952.5)     		ty = 101952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53184 / 101952 ti = "17/53184/101952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53184/101952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53184 ÷ 217
    53184 ÷ 131072     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101952 ÷ 217
    101952 ÷ 131072     		y = 0.77783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77783203125 × 2 - 1) × π
    -0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74567013656396))-π/2
    2×atan(0.174527992180282)-π/2
    2×0.172787647658244-π/2
    0.345575295316487-1.57079632675     		φ = -1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53184 KachelY 101952 -0.59211658 -1.22522103 -33.925781 -70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 53185 KachelY 101952 -0.59206865 -1.22522103 -33.923035 -70.199994
    Unten links KachelX 53184 KachelY + 1 101953 -0.59211658 -1.22523727 -33.925781 -70.200924
    Unten rechts KachelX + 1 53185 KachelY + 1 101953 -0.59206865 -1.22523727 -33.923035 -70.200924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22522103--1.22523727) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dl = 103.465040000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22522103--1.22523727) × R
    1.62400000001117e-05 × 6371000     		dr = 103.465040000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.59206865) × cos(-1.22522103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 103.43772910289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.59206865) × cos(-1.22523727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.338722738995921 × 6371000     		du = 103.433063187018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22522103)-sin(-1.22523727))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.338722738995921)×R²
    abs(-0.59206865--0.59211658)×1.52799477791676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52799477791676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52799477791676e-05×40589641000000     		ar = 10701.9473999156m²