Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53183 / 94228
↖ ↑ ↗
← S 61.632507°
W 33.928528°		 ← 145.12 m → S 61.632507°
W 33.925781°		 →
↑
145.13 m
↓
↑
145.13 m
↓
S 61.633812°
W 33.928528°		 ← 145.11 m →
21 060 m²		 S 61.633812°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405757904052734 y=0.718906402587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405757904052734 × 217)
    floor (0.405757904052734 × 131072)
    floor (53183.5)     		tx = 53183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718906402587891 × 217)
    floor (0.718906402587891 × 131072)
    floor (94228.5)     		ty = 94228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53183 / 94228 ti = "17/53183/94228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53183/94228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53183 ÷ 217
    53183 ÷ 131072     		x = 0.405754089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94228 ÷ 217
    94228 ÷ 131072     		y = 0.718902587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405754089355469 × 2 - 1) × π
    -0.188491821289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59216452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718902587890625 × 2 - 1) × π
    -0.43780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.37540552389865
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59216452} λ = -0.59216452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37540552389865))-π/2
    2×atan(0.252737084093002)-π/2
    2×0.247553078607621-π/2
    0.495106157215241-1.57079632675     		φ = -1.07569017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59216452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.928528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07569017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.632507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53183 KachelY 94228 -0.59216452 -1.07569017 -33.928528 -61.632507
    Oben rechts KachelX + 1 53184 KachelY 94228 -0.59211658 -1.07569017 -33.925781 -61.632507
    Unten links KachelX 53183 KachelY + 1 94229 -0.59216452 -1.07571295 -33.928528 -61.633812
    Unten rechts KachelX + 1 53184 KachelY + 1 94229 -0.59211658 -1.07571295 -33.925781 -61.633812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07569017--1.07571295) × R
    2.2780000000111e-05 × 6371000     		dl = 145.131380000707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07569017--1.07571295) × R
    2.2780000000111e-05 × 6371000     		dr = 145.131380000707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59216452--0.59211658) × cos(-1.07569017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475125063251992 × 6371000     		do = 145.115424036191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59216452--0.59211658) × cos(-1.07571295) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.475105018590365 × 6371000     		du = 145.109301880581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07569017)-sin(-1.07571295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475125063251992-0.475105018590365)×R²
    abs(-0.59211658--0.59216452)×2.00446616273053e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00446616273053e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00446616273053e-05×40589641000000     		ar = 21060.357492252m²