Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53183 / 11455
↖ ↑ ↗
← N 81.440545°
W 33.928528°		 ← 45.46 m → N 81.440545°
W 33.925781°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
N 81.440137°
W 33.928528°		 ← 45.46 m →
2 065 m²		 N 81.440137°
W 33.925781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405757904052734 y=0.0873985290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405757904052734 × 217)
    floor (0.405757904052734 × 131072)
    floor (53183.5)     		tx = 53183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0873985290527344 × 217)
    floor (0.0873985290527344 × 131072)
    floor (11455.5)     		ty = 11455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53183 / 11455 ti = "17/53183/11455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53183/11455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53183 ÷ 217
    53183 ÷ 131072     		x = 0.405754089355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11455 ÷ 217
    11455 ÷ 131072     		y = 0.0873947143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405754089355469 × 2 - 1) × π
    -0.188491821289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.59216452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0873947143554688 × 2 - 1) × π
    0.825210571289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.59247546835226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59216452} λ = -0.59216452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59247546835226))-π/2
    2×atan(13.3628099067083)-π/2
    2×1.49610099569796-π/2
    2.99220199139592-1.57079632675     		φ = 1.42140566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59216452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.928528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42140566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.440545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53183 KachelY 11455 -0.59216452 1.42140566 -33.928528 81.440545
    Oben rechts KachelX + 1 53184 KachelY 11455 -0.59211658 1.42140566 -33.925781 81.440545
    Unten links KachelX 53183 KachelY + 1 11456 -0.59216452 1.42139853 -33.928528 81.440137
    Unten rechts KachelX + 1 53184 KachelY + 1 11456 -0.59211658 1.42139853 -33.925781 81.440137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42140566-1.42139853) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42140566-1.42139853) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59216452--0.59211658) × cos(1.42140566) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148835613718636 × 6371000     		do = 45.4582274583388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59216452--0.59211658) × cos(1.42139853) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.14884266430057 × 6371000     		du = 45.4603808875435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42140566)-sin(1.42139853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148835613718636-0.14884266430057)×R²
    abs(-0.59211658--0.59216452)×7.050581934398e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.050581934398e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.050581934398e-06×40589641000000     		ar = 2064.99934760931m²