Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53182 / 94012
↖ ↑ ↗
← S 61.349346°
W 33.931275°		 ← 146.44 m → S 61.349346°
W 33.928528°		 →
↑
146.41 m
↓
↑
146.41 m
↓
S 61.350663°
W 33.931275°		 ← 146.44 m →
21 439 m²		 S 61.350663°
W 33.928528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53182 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405750274658203 y=0.717258453369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405750274658203 × 217)
    floor (0.405750274658203 × 131072)
    floor (53182.5)     		tx = 53182
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717258453369141 × 217)
    floor (0.717258453369141 × 131072)
    floor (94012.5)     		ty = 94012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53182 / 94012 ti = "17/53182/94012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53182/94012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53182 ÷ 217
    53182 ÷ 131072     		x = 0.405746459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94012 ÷ 217
    94012 ÷ 131072     		y = 0.717254638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405746459960938 × 2 - 1) × π
    -0.188507080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59221246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717254638671875 × 2 - 1) × π
    -0.43450927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36505115358072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59221246} λ = -0.59221246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36505115358072))-π/2
    2×atan(0.255367612686175)-π/2
    2×0.250024118774925-π/2
    0.500048237549849-1.57079632675     		φ = -1.07074809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59221246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.931275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07074809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.349346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53182 KachelY 94012 -0.59221246 -1.07074809 -33.931275 -61.349346
    Oben rechts KachelX + 1 53183 KachelY 94012 -0.59216452 -1.07074809 -33.928528 -61.349346
    Unten links KachelX 53182 KachelY + 1 94013 -0.59221246 -1.07077107 -33.931275 -61.350663
    Unten rechts KachelX + 1 53183 KachelY + 1 94013 -0.59216452 -1.07077107 -33.928528 -61.350663
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07074809--1.07077107) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dl = 146.405580000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07074809--1.07077107) × R
    2.29800000000058e-05 × 6371000     		dr = 146.405580000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59221246--0.59216452) × cos(-1.07074809) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479467869816468 × 6371000     		do = 146.441828945162m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59221246--0.59216452) × cos(-1.07077107) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479447703374057 × 6371000     		du = 146.435669594565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07074809)-sin(-1.07077107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479467869816468-0.479447703374057)×R²
    abs(-0.59216452--0.59221246)×2.0166442411429e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.0166442411429e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.0166442411429e-05×40589641000000     		ar = 21439.4500222034m²