Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53181 / 11451
↖ ↑ ↗
← N 81.442181°
W 33.934021°		 ← 45.44 m → N 81.442181°
W 33.931275°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
N 81.441772°
W 33.934021°		 ← 45.44 m →
2 064 m²		 N 81.441772°
W 33.931275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405742645263672 y=0.0873680114746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405742645263672 × 217)
    floor (0.405742645263672 × 131072)
    floor (53181.5)     		tx = 53181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0873680114746094 × 217)
    floor (0.0873680114746094 × 131072)
    floor (11451.5)     		ty = 11451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53181 / 11451 ti = "17/53181/11451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53181/11451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53181 ÷ 217
    53181 ÷ 131072     		x = 0.405738830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11451 ÷ 217
    11451 ÷ 131072     		y = 0.0873641967773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405738830566406 × 2 - 1) × π
    -0.188522338867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.59226039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0873641967773438 × 2 - 1) × π
    0.825271606445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.59266721595074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59226039} λ = -0.59226039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59266721595074))-π/2
    2×atan(13.3653724390887)-π/2
    2×1.49611526378053-π/2
    2.99223052756106-1.57079632675     		φ = 1.42143420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59226039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.934021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42143420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.442181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53181 KachelY 11451 -0.59226039 1.42143420 -33.934021 81.442181
    Oben rechts KachelX + 1 53182 KachelY 11451 -0.59221246 1.42143420 -33.931275 81.442181
    Unten links KachelX 53181 KachelY + 1 11452 -0.59226039 1.42142707 -33.934021 81.441772
    Unten rechts KachelX + 1 53182 KachelY + 1 11452 -0.59221246 1.42142707 -33.931275 81.441772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42143420-1.42142707) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42143420-1.42142707) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59226039--0.59221246) × cos(1.42143420) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.148807391537915 × 6371000     		do = 45.440127158945m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59226039--0.59221246) × cos(1.42142707) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.148814442150133 × 6371000     		du = 45.4422801482048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42143420)-sin(1.42142707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148807391537915-0.148814442150133)×R²
    abs(-0.59221246--0.59226039)×7.05061221883962e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.05061221883962e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.05061221883962e-06×40589641000000     		ar = 2064.17712736012m²