Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53180 / 11452
↖ ↑ ↗
← N 81.441772°
W 33.936767°		 ← 45.45 m → N 81.441772°
W 33.934021°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
N 81.441363°
W 33.936767°		 ← 45.45 m →
2 068 m²		 N 81.441363°
W 33.934021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53180 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405735015869141 y=0.0873756408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405735015869141 × 217)
    floor (0.405735015869141 × 131072)
    floor (53180.5)     		tx = 53180
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0873756408691406 × 217)
    floor (0.0873756408691406 × 131072)
    floor (11452.5)     		ty = 11452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53180 / 11452 ti = "17/53180/11452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53180/11452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53180 ÷ 217
    53180 ÷ 131072     		x = 0.405731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11452 ÷ 217
    11452 ÷ 131072     		y = 0.087371826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405731201171875 × 2 - 1) × π
    -0.18853759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59230833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.087371826171875 × 2 - 1) × π
    0.82525634765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.59261927905112
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59230833} λ = -0.59230833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59261927905112))-π/2
    2×atan(13.3647317599279)-π/2
    2×1.49611169701352-π/2
    2.99222339402703-1.57079632675     		φ = 1.42142707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59230833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.936767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42142707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.441772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53180 KachelY 11452 -0.59230833 1.42142707 -33.936767 81.441772
    Oben rechts KachelX + 1 53181 KachelY 11452 -0.59226039 1.42142707 -33.934021 81.441772
    Unten links KachelX 53180 KachelY + 1 11453 -0.59230833 1.42141993 -33.936767 81.441363
    Unten rechts KachelX + 1 53181 KachelY + 1 11453 -0.59226039 1.42141993 -33.934021 81.441363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42142707-1.42141993) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42142707-1.42141993) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59230833--0.59226039) × cos(1.42142707) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.148814442150133 × 6371000     		do = 45.4517611164671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59230833--0.59226039) × cos(1.42141993) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.148821502643428 × 6371000     		du = 45.4539175728563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42142707)-sin(1.42141993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148814442150133-0.148821502643428)×R²
    abs(-0.59226039--0.59230833)×7.06049329426972e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.06049329426972e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.06049329426972e-06×40589641000000     		ar = 2067.60148185253m²