Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53179 / 11453
↖ ↑ ↗
← N 81.441363°
W 33.939514°		 ← 45.45 m → N 81.441363°
W 33.936767°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
N 81.440954°
W 33.939514°		 ← 45.46 m →
2 065 m²		 N 81.440954°
W 33.936767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405727386474609 y=0.0873832702636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405727386474609 × 217)
    floor (0.405727386474609 × 131072)
    floor (53179.5)     		tx = 53179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0873832702636719 × 217)
    floor (0.0873832702636719 × 131072)
    floor (11453.5)     		ty = 11453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53179 / 11453 ti = "17/53179/11453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53179/11453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53179 ÷ 217
    53179 ÷ 131072     		x = 0.405723571777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11453 ÷ 217
    11453 ÷ 131072     		y = 0.0873794555664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405723571777344 × 2 - 1) × π
    -0.188552856445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59235627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0873794555664062 × 2 - 1) × π
    0.825241088867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.5925713421515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59235627} λ = -0.59235627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5925713421515))-π/2
    2×atan(13.3640911114786)-π/2
    2×1.49610813007742-π/2
    2.99221626015484-1.57079632675     		φ = 1.42141993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59235627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.939514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42141993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.441363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53179 KachelY 11453 -0.59235627 1.42141993 -33.939514 81.441363
    Oben rechts KachelX + 1 53180 KachelY 11453 -0.59230833 1.42141993 -33.936767 81.441363
    Unten links KachelX 53179 KachelY + 1 11454 -0.59235627 1.42141280 -33.939514 81.440954
    Unten rechts KachelX + 1 53180 KachelY + 1 11454 -0.59230833 1.42141280 -33.936767 81.440954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42141993-1.42141280) × R
    7.13000000018837e-06 × 6371000     		dl = 45.4252300012001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42141993-1.42141280) × R
    7.13000000018837e-06 × 6371000     		dr = 45.4252300012001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59235627--0.59230833) × cos(1.42141993) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148821502643428 × 6371000     		do = 45.453917572751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59235627--0.59230833) × cos(1.42141280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148828553240505 × 6371000     		du = 45.4560710065809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42141993)-sin(1.42141280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148821502643428-0.148828553240505)×R²
    abs(-0.59230833--0.59235627)×7.0505970775625e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.0505970775625e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.0505970775625e-06×40589641000000     		ar = 2064.80357028715m²