Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53176 / 94237
↖ ↑ ↗
← S 61.644249°
W 33.947754°		 ← 145.06 m → S 61.644249°
W 33.945007°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
S 61.645554°
W 33.947754°		 ← 145.05 m →
21 043 m²		 S 61.645554°
W 33.945007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94237 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405704498291016 y=0.718975067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405704498291016 × 217)
    floor (0.405704498291016 × 131072)
    floor (53176.5)     		tx = 53176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718975067138672 × 217)
    floor (0.718975067138672 × 131072)
    floor (94237.5)     		ty = 94237
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53176 / 94237 ti = "17/53176/94237"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53176/94237.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53176 ÷ 217
    53176 ÷ 131072     		x = 0.40570068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94237 ÷ 217
    94237 ÷ 131072     		y = 0.718971252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1885986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59250008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718971252441406 × 2 - 1) × π
    -0.437942504882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.37583695599523
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59250008} λ = -0.59250008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37583695599523))-π/2
    2×atan(0.252628068720984)-π/2
    2×0.24745060595899-π/2
    0.494901211917979-1.57079632675     		φ = -1.07589511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59250008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.947754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07589511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.644249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53176 KachelY 94237 -0.59250008 -1.07589511 -33.947754 -61.644249
    Oben rechts KachelX + 1 53177 KachelY 94237 -0.59245214 -1.07589511 -33.945007 -61.644249
    Unten links KachelX 53176 KachelY + 1 94238 -0.59250008 -1.07591788 -33.947754 -61.645554
    Unten rechts KachelX + 1 53177 KachelY + 1 94238 -0.59245214 -1.07591788 -33.945007 -61.645554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07589511--1.07591788) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dl = 145.06766999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07589511--1.07591788) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dr = 145.06766999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59250008--0.59245214) × cos(-1.07589511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474944722823836 × 6371000     		do = 145.06034342747m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59250008--0.59245214) × cos(-1.07591788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.474924684744803 × 6371000     		du = 145.054223282353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07589511)-sin(-1.07591788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474944722823836-0.474924684744803)×R²
    abs(-0.59245214--0.59250008)×2.00380790320587e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00380790320587e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00380790320587e-05×40589641000000     		ar = 21043.122113654m²