Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53172 / 94003
↖ ↑ ↗
← S 61.337492°
W 33.958740°		 ← 146.50 m → S 61.337492°
W 33.955994°		 →
↑
146.47 m
↓
↑
146.47 m
↓
S 61.338809°
W 33.958740°		 ← 146.49 m →
21 457 m²		 S 61.338809°
W 33.955994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405673980712891 y=0.717189788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405673980712891 × 217)
    floor (0.405673980712891 × 131072)
    floor (53172.5)     		tx = 53172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717189788818359 × 217)
    floor (0.717189788818359 × 131072)
    floor (94003.5)     		ty = 94003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53172 / 94003 ti = "17/53172/94003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53172/94003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53172 ÷ 217
    53172 ÷ 131072     		x = 0.405670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94003 ÷ 217
    94003 ÷ 131072     		y = 0.717185974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.18865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59269183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717185974121094 × 2 - 1) × π
    -0.434371948242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.36461972148414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59269183} λ = -0.59269183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36461972148414))-π/2
    2×atan(0.255477810240386)-π/2
    2×0.250127567270431-π/2
    0.500255134540862-1.57079632675     		φ = -1.07054119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59269183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.958740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07054119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.337492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53172 KachelY 94003 -0.59269183 -1.07054119 -33.958740 -61.337492
    Oben rechts KachelX + 1 53173 KachelY 94003 -0.59264389 -1.07054119 -33.955994 -61.337492
    Unten links KachelX 53172 KachelY + 1 94004 -0.59269183 -1.07056418 -33.958740 -61.338809
    Unten rechts KachelX + 1 53173 KachelY + 1 94004 -0.59264389 -1.07056418 -33.955994 -61.338809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07054119--1.07056418) × R
    2.2990000000167e-05 × 6371000     		dl = 146.469290001064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07054119--1.07056418) × R
    2.2990000000167e-05 × 6371000     		dr = 146.469290001064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59269183--0.59264389) × cos(-1.07054119) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.479649426599821 × 6371000     		do = 146.497281060069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59269183--0.59264389) × cos(-1.07056418) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.47962925366274 × 6371000     		du = 146.491119725833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07054119)-sin(-1.07056418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479649426599821-0.47962925366274)×R²
    abs(-0.59264389--0.59269183)×2.01729370805648e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01729370805648e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01729370805648e-05×40589641000000     		ar = 21456.9015216771m²