Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53171 / 94004
↖ ↑ ↗
← S 61.338809°
W 33.961487°		 ← 146.46 m → S 61.338809°
W 33.958740°		 →
↑
146.53 m
↓
↑
146.53 m
↓
S 61.340127°
W 33.961487°		 ← 146.45 m →
21 461 m²		 S 61.340127°
W 33.958740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405666351318359 y=0.717197418212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405666351318359 × 217)
    floor (0.405666351318359 × 131072)
    floor (53171.5)     		tx = 53171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717197418212891 × 217)
    floor (0.717197418212891 × 131072)
    floor (94004.5)     		ty = 94004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53171 / 94004 ti = "17/53171/94004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53171/94004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53171 ÷ 217
    53171 ÷ 131072     		x = 0.405662536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94004 ÷ 217
    94004 ÷ 131072     		y = 0.717193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405662536621094 × 2 - 1) × π
    -0.188674926757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.59273976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717193603515625 × 2 - 1) × π
    -0.43438720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36466765838376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59273976} λ = -0.59273976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36466765838376))-π/2
    2×atan(0.255465563719774)-π/2
    2×0.250116071059054-π/2
    0.500232142118109-1.57079632675     		φ = -1.07056418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59273976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.961487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07056418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.338809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53171 KachelY 94004 -0.59273976 -1.07056418 -33.961487 -61.338809
    Oben rechts KachelX + 1 53172 KachelY 94004 -0.59269183 -1.07056418 -33.958740 -61.338809
    Unten links KachelX 53171 KachelY + 1 94005 -0.59273976 -1.07058718 -33.961487 -61.340127
    Unten rechts KachelX + 1 53172 KachelY + 1 94005 -0.59269183 -1.07058718 -33.958740 -61.340127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07056418--1.07058718) × R
    2.29999999998842e-05 × 6371000     		dl = 146.532999999262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07056418--1.07058718) × R
    2.29999999998842e-05 × 6371000     		dr = 146.532999999262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59273976--0.59269183) × cos(-1.07056418) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.47962925366274 × 6371000     		do = 146.46056254559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59273976--0.59269183) × cos(-1.07058718) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.479609071697334 × 6371000     		du = 146.454399739664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07056418)-sin(-1.07058718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47962925366274-0.479609071697334)×R²
    abs(-0.59269183--0.59273976)×2.01819654063184e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.01819654063184e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.01819654063184e-05×40589641000000     		ar = 21460.8540851417m²