Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53170 / 94235
↖ ↑ ↗
← S 61.641640°
W 33.964233°		 ← 145.07 m → S 61.641640°
W 33.961487°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
S 61.642945°
W 33.964233°		 ← 145.07 m →
21 045 m²		 S 61.642945°
W 33.961487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405658721923828 y=0.718959808349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405658721923828 × 217)
    floor (0.405658721923828 × 131072)
    floor (53170.5)     		tx = 53170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718959808349609 × 217)
    floor (0.718959808349609 × 131072)
    floor (94235.5)     		ty = 94235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53170 / 94235 ti = "17/53170/94235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53170/94235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53170 ÷ 217
    53170 ÷ 131072     		x = 0.405654907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94235 ÷ 217
    94235 ÷ 131072     		y = 0.718955993652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405654907226562 × 2 - 1) × π
    -0.188690185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59278770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718955993652344 × 2 - 1) × π
    -0.437911987304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.37574108219599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59278770} λ = -0.59278770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37574108219599))-π/2
    2×atan(0.252652290294816)-π/2
    2×0.247473374296753-π/2
    0.494946748593506-1.57079632675     		φ = -1.07584958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59278770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.964233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07584958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.641640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53170 KachelY 94235 -0.59278770 -1.07584958 -33.964233 -61.641640
    Oben rechts KachelX + 1 53171 KachelY 94235 -0.59273976 -1.07584958 -33.961487 -61.641640
    Unten links KachelX 53170 KachelY + 1 94236 -0.59278770 -1.07587235 -33.964233 -61.642945
    Unten rechts KachelX + 1 53171 KachelY + 1 94236 -0.59273976 -1.07587235 -33.961487 -61.642945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07584958--1.07587235) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dl = 145.06766999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07584958--1.07587235) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dr = 145.06766999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59278770--0.59273976) × cos(-1.07584958) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.474984789443211 × 6371000     		do = 145.072580804678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59278770--0.59273976) × cos(-1.07587235) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.474964751856573 × 6371000     		du = 145.066460809951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07584958)-sin(-1.07587235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474984789443211-0.474964751856573)×R²
    abs(-0.59273976--0.59278770)×2.00375866378777e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00375866378777e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00375866378777e-05×40589641000000     		ar = 21044.8973724032m²