Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5317 / 2889
↖ ↑ ↗
← N 81.399159°
W121.585693°		 ← 182.70 m → N 81.399159°
W121.574707°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
N 81.397516°
W121.585693°		 ← 182.73 m →
33 385 m²		 N 81.397516°
W121.574707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.162277221679688 y=0.0881805419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.162277221679688 × 215)
    floor (0.162277221679688 × 32768)
    floor (5317.5)     		tx = 5317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0881805419921875 × 215)
    floor (0.0881805419921875 × 32768)
    floor (2889.5)     		ty = 2889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5317 / 2889 ti = "15/5317/2889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5317/2889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5317 ÷ 215
    5317 ÷ 32768     		x = 0.162261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2889 ÷ 215
    2889 ÷ 32768     		y = 0.088165283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.162261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.67547607421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.12207067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.088165283203125 × 2 - 1) × π
    0.82366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58763384149063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.12207067} λ = -2.12207067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58763384149063))-π/2
    2×atan(13.2982685360122)-π/2
    2×1.49573982859752-π/2
    2.99147965719504-1.57079632675     		φ = 1.42068333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.12207067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -121.585693°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42068333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.399159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5317 KachelY 2889 -2.12207067 1.42068333 -121.585693 81.399159
    Oben rechts KachelX + 1 5318 KachelY 2889 -2.12187892 1.42068333 -121.574707 81.399159
    Unten links KachelX 5317 KachelY + 1 2890 -2.12207067 1.42065465 -121.585693 81.397516
    Unten rechts KachelX + 1 5318 KachelY + 1 2890 -2.12187892 1.42065465 -121.574707 81.397516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42068333-1.42065465) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dl = 182.72028000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42068333-1.42065465) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dr = 182.72028000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.12207067--2.12187892) × cos(1.42068333) × R
    0.000191749999999935 × 0.149549859482021 × 6371000     		do = 182.69597817516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.12207067--2.12187892) × cos(1.42065465) × R
    0.000191749999999935 × 0.149578216890555 × 6371000     		du = 182.730620698452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42068333)-sin(1.42065465))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149549859482021-0.149578216890555)×R²
    abs(-2.12187892--2.12207067)×2.83574085334082e-05×R²
    0.000191749999999935×2.83574085334082e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.83574085334082e-05×40589641000000     		ar = 33385.4252349877m²