Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53169 / 94067
↖ ↑ ↗
← S 61.421692°
W 33.966980°		 ← 146.10 m → S 61.421692°
W 33.964233°		 →
↑
146.09 m
↓
↑
146.09 m
↓
S 61.423006°
W 33.966980°		 ← 146.10 m →
21 343 m²		 S 61.423006°
W 33.964233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53169 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405651092529297 y=0.717678070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405651092529297 × 217)
    floor (0.405651092529297 × 131072)
    floor (53169.5)     		tx = 53169
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717678070068359 × 217)
    floor (0.717678070068359 × 131072)
    floor (94067.5)     		ty = 94067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53169 / 94067 ti = "17/53169/94067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53169/94067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53169 ÷ 217
    53169 ÷ 131072     		x = 0.405647277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94067 ÷ 217
    94067 ÷ 131072     		y = 0.717674255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405647277832031 × 2 - 1) × π
    -0.188705444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59283564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717674255371094 × 2 - 1) × π
    -0.435348510742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.36768768305982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59283564} λ = -0.59283564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36768768305982))-π/2
    2×atan(0.254695215234673)-π/2
    2×0.249392784000424-π/2
    0.498785568000848-1.57079632675     		φ = -1.07201076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59283564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.966980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07201076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.421692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53169 KachelY 94067 -0.59283564 -1.07201076 -33.966980 -61.421692
    Oben rechts KachelX + 1 53170 KachelY 94067 -0.59278770 -1.07201076 -33.964233 -61.421692
    Unten links KachelX 53169 KachelY + 1 94068 -0.59283564 -1.07203369 -33.966980 -61.423006
    Unten rechts KachelX + 1 53170 KachelY + 1 94068 -0.59278770 -1.07203369 -33.964233 -61.423006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07201076--1.07203369) × R
    2.29300000000876e-05 × 6371000     		dl = 146.087030000558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07201076--1.07203369) × R
    2.29300000000876e-05 × 6371000     		dr = 146.087030000558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59283564--0.59278770) × cos(-1.07201076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.47835941992294 × 6371000     		do = 146.103279815839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59283564--0.59278770) × cos(-1.07203369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478339283493342 × 6371000     		du = 146.097129631928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07201076)-sin(-1.07203369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.47835941992294-0.478339283493342)×R²
    abs(-0.59278770--0.59283564)×2.01364295976947e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01364295976947e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01364295976947e-05×40589641000000     		ar = 21343.3449915481m²