Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53166 / 94013
↖ ↑ ↗
← S 61.350663°
W 33.975220°		 ← 146.44 m → S 61.350663°
W 33.972473°		 →
↑
146.47 m
↓
↑
146.47 m
↓
S 61.351980°
W 33.975220°		 ← 146.43 m →
21 448 m²		 S 61.351980°
W 33.972473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405628204345703 y=0.717266082763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405628204345703 × 217)
    floor (0.405628204345703 × 131072)
    floor (53166.5)     		tx = 53166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717266082763672 × 217)
    floor (0.717266082763672 × 131072)
    floor (94013.5)     		ty = 94013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53166 / 94013 ti = "17/53166/94013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53166/94013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53166 ÷ 217
    53166 ÷ 131072     		x = 0.405624389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94013 ÷ 217
    94013 ÷ 131072     		y = 0.717262268066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405624389648438 × 2 - 1) × π
    -0.188751220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59297945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717262268066406 × 2 - 1) × π
    -0.434524536132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.36509909048034
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59297945} λ = -0.59297945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36509909048034))-π/2
    2×atan(0.255355371447965)-π/2
    2×0.250012626915055-π/2
    0.50002525383011-1.57079632675     		φ = -1.07077107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59297945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.975220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07077107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.350663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53166 KachelY 94013 -0.59297945 -1.07077107 -33.975220 -61.350663
    Oben rechts KachelX + 1 53167 KachelY 94013 -0.59293151 -1.07077107 -33.972473 -61.350663
    Unten links KachelX 53166 KachelY + 1 94014 -0.59297945 -1.07079406 -33.975220 -61.351980
    Unten rechts KachelX + 1 53167 KachelY + 1 94014 -0.59293151 -1.07079406 -33.972473 -61.351980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07077107--1.07079406) × R
    2.2990000000167e-05 × 6371000     		dl = 146.469290001064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07077107--1.07079406) × R
    2.2990000000167e-05 × 6371000     		dr = 146.469290001064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59297945--0.59293151) × cos(-1.07077107) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479447703374057 × 6371000     		do = 146.435669594226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59297945--0.59293151) × cos(-1.07079406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.479427527902644 × 6371000     		du = 146.42950748594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07077107)-sin(-1.07079406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.479447703374057-0.479427527902644)×R²
    abs(-0.59293151--0.59297945)×2.01754714132529e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01754714132529e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01754714132529e-05×40589641000000     		ar = 21447.8772774242m²