Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53163 / 93977
↖ ↑ ↗
← S 61.303221°
W 33.983460°		 ← 146.66 m → S 61.303221°
W 33.980713°		 →
↑
146.66 m
↓
↑
146.66 m
↓
S 61.304540°
W 33.983460°		 ← 146.65 m →
21 508 m²		 S 61.304540°
W 33.980713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405605316162109 y=0.716991424560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405605316162109 × 217)
    floor (0.405605316162109 × 131072)
    floor (53163.5)     		tx = 53163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716991424560547 × 217)
    floor (0.716991424560547 × 131072)
    floor (93977.5)     		ty = 93977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53163 / 93977 ti = "17/53163/93977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53163/93977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53163 ÷ 217
    53163 ÷ 131072     		x = 0.405601501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93977 ÷ 217
    93977 ÷ 131072     		y = 0.716987609863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405601501464844 × 2 - 1) × π
    -0.188796997070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.59312326
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716987609863281 × 2 - 1) × π
    -0.433975219726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.36337336209402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59312326} λ = -0.59312326}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36337336209402))-π/2
    2×atan(0.255796425921725)-π/2
    2×0.25042663854175-π/2
    0.5008532770835-1.57079632675     		φ = -1.06994305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59312326} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.983460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06994305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.303221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53163 KachelY 93977 -0.59312326 -1.06994305 -33.983460 -61.303221
    Oben rechts KachelX + 1 53164 KachelY 93977 -0.59307532 -1.06994305 -33.980713 -61.303221
    Unten links KachelX 53163 KachelY + 1 93978 -0.59312326 -1.06996607 -33.983460 -61.304540
    Unten rechts KachelX + 1 53164 KachelY + 1 93978 -0.59307532 -1.06996607 -33.980713 -61.304540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06994305--1.06996607) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dl = 146.660419999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06994305--1.06996607) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dr = 146.660419999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59312326--0.59307532) × cos(-1.06994305) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.480174184818631 × 6371000     		do = 146.657555727371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59312326--0.59307532) × cos(-1.06996607) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.480153992165268 × 6371000     		du = 146.651388371275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06994305)-sin(-1.06996607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480174184818631-0.480153992165268)×R²
    abs(-0.59307532--0.59312326)×2.01926533633379e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.01926533633379e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.01926533633379e-05×40589641000000     		ar = 21508.4064665358m²