Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53161 / 50073
↖ ↑ ↗
← S 68.449680°
E112.022095°		 ← 224.35 m → S 68.449680°
E112.027588°		 →
↑
224.39 m
↓
↑
224.39 m
↓
S 68.451698°
E112.022095°		 ← 224.33 m →
50 340 m²		 S 68.451698°
E112.027588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811180114746094 y=0.764060974121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811180114746094 × 216)
    floor (0.811180114746094 × 65536)
    floor (53161.5)     		tx = 53161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764060974121094 × 216)
    floor (0.764060974121094 × 65536)
    floor (50073.5)     		ty = 50073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53161 / 50073 ti = "16/53161/50073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53161/50073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53161 ÷ 216
    53161 ÷ 65536     		x = 0.811172485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50073 ÷ 216
    50073 ÷ 65536     		y = 0.764053344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811172485351562 × 2 - 1) × π
    0.622344970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95515439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764053344726562 × 2 - 1) × π
    -0.528106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65909609585014
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95515439} λ = 1.95515439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65909609585014))-π/2
    2×atan(0.190310925213927)-π/2
    2×0.188062021291549-π/2
    0.376124042583098-1.57079632675     		φ = -1.19467228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95515439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.022095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19467228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.449680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53161 KachelY 50073 1.95515439 -1.19467228 112.022095 -68.449680
    Oben rechts KachelX + 1 53162 KachelY 50073 1.95525026 -1.19467228 112.027588 -68.449680
    Unten links KachelX 53161 KachelY + 1 50074 1.95515439 -1.19470750 112.022095 -68.451698
    Unten rechts KachelX + 1 53162 KachelY + 1 50074 1.95525026 -1.19470750 112.027588 -68.451698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19467228--1.19470750) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dl = 224.386620000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19467228--1.19470750) × R
    3.52200000000025e-05 × 6371000     		dr = 224.386620000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95515439-1.95525026) × cos(-1.19467228) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36731823158663 × 6371000     		do = 224.353483551136m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95515439-1.95525026) × cos(-1.19470750) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.36728547340141 × 6371000     		du = 224.333475252237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19467228)-sin(-1.19470750))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36731823158663-0.36728547340141)×R²
    abs(1.95525026-1.95515439)×3.27581852191949e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.27581852191949e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.27581852191949e-05×40589641000000     		ar = 50339.6750673541m²