Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 53161 / 49982
↖ ↑ ↗
← S 68.265319°
E112.022095°		 ← 226.18 m → S 68.265319°
E112.027588°		 →
↑
226.17 m
↓
↑
226.17 m
↓
S 68.267353°
E112.022095°		 ← 226.16 m →
51 153 m²		 S 68.267353°
E112.027588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49982 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811180114746094 y=0.762672424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811180114746094 × 216)
    floor (0.811180114746094 × 65536)
    floor (53161.5)     		tx = 53161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762672424316406 × 216)
    floor (0.762672424316406 × 65536)
    floor (49982.5)     		ty = 49982
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53161 / 49982 ti = "16/53161/49982"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53161/49982.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53161 ÷ 216
    53161 ÷ 65536     		x = 0.811172485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49982 ÷ 216
    49982 ÷ 65536     		y = 0.762664794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811172485351562 × 2 - 1) × π
    0.622344970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95515439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762664794921875 × 2 - 1) × π
    -0.52532958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.65037158011929
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95515439} λ = 1.95515439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65037158011929))-π/2
    2×atan(0.191978559949493)-π/2
    2×0.189670874155636-π/2
    0.379341748311273-1.57079632675     		φ = -1.19145458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95515439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.022095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19145458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.265319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53161 KachelY 49982 1.95515439 -1.19145458 112.022095 -68.265319
    Oben rechts KachelX + 1 53162 KachelY 49982 1.95525026 -1.19145458 112.027588 -68.265319
    Unten links KachelX 53161 KachelY + 1 49983 1.95515439 -1.19149008 112.022095 -68.267353
    Unten rechts KachelX + 1 53162 KachelY + 1 49983 1.95525026 -1.19149008 112.027588 -68.267353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19145458--1.19149008) × R
    3.54999999998551e-05 × 6371000     		dl = 226.170499999077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19145458--1.19149008) × R
    3.54999999998551e-05 × 6371000     		dr = 226.170499999077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95515439-1.95525026) × cos(-1.19145458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370309092624881 × 6371000     		do = 226.18026489507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95515439-1.95525026) × cos(-1.19149008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.370276116136462 × 6371000     		du = 226.160123259246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19145458)-sin(-1.19149008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370309092624881-0.370276116136462)×R²
    abs(1.95525026-1.95515439)×3.29764884192674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.29764884192674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.29764884192674e-05×40589641000000     		ar = 51153.025884459m²