Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53160 / 93960
↖ ↑ ↗
← S 61.280793°
W 33.991699°		 ← 146.76 m → S 61.280793°
W 33.988952°		 →
↑
146.79 m
↓
↑
146.79 m
↓
S 61.282113°
W 33.991699°		 ← 146.76 m →
21 542 m²		 S 61.282113°
W 33.988952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405582427978516 y=0.716861724853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405582427978516 × 217)
    floor (0.405582427978516 × 131072)
    floor (53160.5)     		tx = 53160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716861724853516 × 217)
    floor (0.716861724853516 × 131072)
    floor (93960.5)     		ty = 93960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53160 / 93960 ti = "17/53160/93960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53160/93960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53160 ÷ 217
    53160 ÷ 131072     		x = 0.40557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93960 ÷ 217
    93960 ÷ 131072     		y = 0.71685791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59326707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71685791015625 × 2 - 1) × π
    -0.4337158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36255843480048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59326707} λ = -0.59326707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36255843480048))-π/2
    2×atan(0.25600496637191)-π/2
    2×0.250622362007687-π/2
    0.501244724015374-1.57079632675     		φ = -1.06955160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59326707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.991699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06955160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.280793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53160 KachelY 93960 -0.59326707 -1.06955160 -33.991699 -61.280793
    Oben rechts KachelX + 1 53161 KachelY 93960 -0.59321913 -1.06955160 -33.988952 -61.280793
    Unten links KachelX 53160 KachelY + 1 93961 -0.59326707 -1.06957464 -33.991699 -61.282113
    Unten rechts KachelX + 1 53161 KachelY + 1 93961 -0.59321913 -1.06957464 -33.988952 -61.282113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06955160--1.06957464) × R
    2.30399999998632e-05 × 6371000     		dl = 146.787839999128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06955160--1.06957464) × R
    2.30399999998632e-05 × 6371000     		dr = 146.787839999128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59326707--0.59321913) × cos(-1.06955160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480517517453967 × 6371000     		do = 146.762418351245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59326707--0.59321913) × cos(-1.06957464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480497311589072 × 6371000     		du = 146.756246960007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06955160)-sin(-1.06957464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480517517453967-0.480497311589072)×R²
    abs(-0.59321913--0.59326707)×2.02058648955949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02058648955949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02058648955949e-05×40589641000000     		ar = 21542.4854413369m²