Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53160 / 11656
↖ ↑ ↗
← N 81.357986°
W 33.991699°		 ← 45.89 m → N 81.357986°
W 33.988952°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
N 81.357574°
W 33.991699°		 ← 45.90 m →
2 105 m²		 N 81.357574°
W 33.988952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405582427978516 y=0.0889320373535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405582427978516 × 217)
    floor (0.405582427978516 × 131072)
    floor (53160.5)     		tx = 53160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0889320373535156 × 217)
    floor (0.0889320373535156 × 131072)
    floor (11656.5)     		ty = 11656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53160 / 11656 ti = "17/53160/11656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53160/11656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53160 ÷ 217
    53160 ÷ 131072     		x = 0.40557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11656 ÷ 217
    11656 ÷ 131072     		y = 0.08892822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.1888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59326707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08892822265625 × 2 - 1) × π
    0.8221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58284015152863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59326707} λ = -0.59326707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58284015152863))-π/2
    2×atan(13.234673309301)-π/2
    2×1.49538052997342-π/2
    2.99076105994685-1.57079632675     		φ = 1.41996473
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59326707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.991699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41996473 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.357986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53160 KachelY 11656 -0.59326707 1.41996473 -33.991699 81.357986
    Oben rechts KachelX + 1 53161 KachelY 11656 -0.59321913 1.41996473 -33.988952 81.357986
    Unten links KachelX 53160 KachelY + 1 11657 -0.59326707 1.41995753 -33.991699 81.357574
    Unten rechts KachelX + 1 53161 KachelY + 1 11657 -0.59321913 1.41995753 -33.988952 81.357574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41996473-1.41995753) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dl = 45.8711999999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41996473-1.41995753) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dr = 45.8711999999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59326707--0.59321913) × cos(1.41996473) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150260339565916 × 6371000     		do = 45.8933754045411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59326707--0.59321913) × cos(1.41995753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150267457816561 × 6371000     		du = 45.8955495015117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41996473)-sin(1.41995753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150260339565916-0.150267457816561)×R²
    abs(-0.59321913--0.59326707)×7.11825064442229e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.11825064442229e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.11825064442229e-06×40589641000000     		ar = 2105.23406598785m²