Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53159 / 93972
↖ ↑ ↗
← S 61.296626°
W 33.994446°		 ← 146.69 m → S 61.296626°
W 33.991699°		 →
↑
146.66 m
↓
↑
146.66 m
↓
S 61.297945°
W 33.994446°		 ← 146.68 m →
21 513 m²		 S 61.297945°
W 33.991699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405574798583984 y=0.716953277587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405574798583984 × 217)
    floor (0.405574798583984 × 131072)
    floor (53159.5)     		tx = 53159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716953277587891 × 217)
    floor (0.716953277587891 × 131072)
    floor (93972.5)     		ty = 93972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53159 / 93972 ti = "17/53159/93972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53159/93972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53159 ÷ 217
    53159 ÷ 131072     		x = 0.405570983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93972 ÷ 217
    93972 ÷ 131072     		y = 0.716949462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405570983886719 × 2 - 1) × π
    -0.188858032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.59331501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716949462890625 × 2 - 1) × π
    -0.43389892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.36313367759592
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59331501} λ = -0.59331501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36313367759592))-π/2
    2×atan(0.255857743707856)-π/2
    2×0.250484189745607-π/2
    0.500968379491213-1.57079632675     		φ = -1.06982795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59331501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.994446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06982795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.296626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53159 KachelY 93972 -0.59331501 -1.06982795 -33.994446 -61.296626
    Oben rechts KachelX + 1 53160 KachelY 93972 -0.59326707 -1.06982795 -33.991699 -61.296626
    Unten links KachelX 53159 KachelY + 1 93973 -0.59331501 -1.06985097 -33.994446 -61.297945
    Unten rechts KachelX + 1 53160 KachelY + 1 93973 -0.59326707 -1.06985097 -33.991699 -61.297945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06982795--1.06985097) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dl = 146.660419999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06982795--1.06985097) × R
    2.30199999999847e-05 × 6371000     		dr = 146.660419999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59331501--0.59326707) × cos(-1.06982795) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480275144268423 × 6371000     		do = 146.688391341694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59331501--0.59326707) × cos(-1.06985097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.480254952887437 × 6371000     		du = 146.682224374214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06982795)-sin(-1.06985097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480275144268423-0.480254952887437)×R²
    abs(-0.59326707--0.59331501)×2.01913809858012e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01913809858012e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01913809858012e-05×40589641000000     		ar = 21512.9288590922m²