Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53155 / 93957
↖ ↑ ↗
← S 61.276833°
W 34.005432°		 ← 146.75 m → S 61.276833°
W 34.002686°		 →
↑
146.79 m
↓
↑
146.79 m
↓
S 61.278153°
W 34.005432°		 ← 146.74 m →
21 541 m²		 S 61.278153°
W 34.002686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 93957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405544281005859 y=0.716838836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405544281005859 × 217)
    floor (0.405544281005859 × 131072)
    floor (53155.5)     		tx = 53155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.716838836669922 × 217)
    floor (0.716838836669922 × 131072)
    floor (93957.5)     		ty = 93957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53155 / 93957 ti = "17/53155/93957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53155/93957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53155 ÷ 217
    53155 ÷ 131072     		x = 0.405540466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 93957 ÷ 217
    93957 ÷ 131072     		y = 0.716835021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405540466308594 × 2 - 1) × π
    -0.188919067382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.59350675
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716835021972656 × 2 - 1) × π
    -0.433670043945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.36241462410162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59350675} λ = -0.59350675}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36241462410162))-π/2
    2×atan(0.256041785272448)-π/2
    2×0.250656915966408-π/2
    0.501313831932816-1.57079632675     		φ = -1.06948249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59350675} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.005432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06948249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.276833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53155 KachelY 93957 -0.59350675 -1.06948249 -34.005432 -61.276833
    Oben rechts KachelX + 1 53156 KachelY 93957 -0.59345882 -1.06948249 -34.002686 -61.276833
    Unten links KachelX 53155 KachelY + 1 93958 -0.59350675 -1.06950553 -34.005432 -61.278153
    Unten rechts KachelX + 1 53156 KachelY + 1 93958 -0.59345882 -1.06950553 -34.002686 -61.278153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06948249--1.06950553) × R
    2.30400000000852e-05 × 6371000     		dl = 146.787840000543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06948249--1.06950553) × R
    2.30400000000852e-05 × 6371000     		dr = 146.787840000543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59350675--0.59345882) × cos(-1.06948249) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.48057812474862 × 6371000     		do = 146.750311746582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59350675--0.59345882) × cos(-1.06950553) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.480557919648882 × 6371000     		du = 146.744141876309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06948249)-sin(-1.06950553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48057812474862-0.480557919648882)×R²
    abs(-0.59345882--0.59350675)×2.02050997382131e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.02050997382131e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.02050997382131e-05×40589641000000     		ar = 21540.7084506189m²