Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53155 / 50025
↖ ↑ ↗
← S 68.352620°
E111.989136°		 ← 225.32 m → S 68.352620°
E111.994629°		 →
↑
225.34 m
↓
↑
225.34 m
↓
S 68.354647°
E111.989136°		 ← 225.30 m →
50 771 m²		 S 68.354647°
E111.994629°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811088562011719 y=0.763328552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811088562011719 × 216)
    floor (0.811088562011719 × 65536)
    floor (53155.5)     		tx = 53155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763328552246094 × 216)
    floor (0.763328552246094 × 65536)
    floor (50025.5)     		ty = 50025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53155 / 50025 ti = "16/53155/50025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53155/50025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53155 ÷ 216
    53155 ÷ 65536     		x = 0.811080932617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50025 ÷ 216
    50025 ÷ 65536     		y = 0.763320922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811080932617188 × 2 - 1) × π
    0.622161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95457915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763320922851562 × 2 - 1) × π
    -0.526641845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.65449415348662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95457915} λ = 1.95457915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65449415348662))-π/2
    2×atan(0.191188743408085)-π/2
    2×0.188909020934065-π/2
    0.37781804186813-1.57079632675     		φ = -1.19297828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95457915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.989136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19297828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.352620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53155 KachelY 50025 1.95457915 -1.19297828 111.989136 -68.352620
    Oben rechts KachelX + 1 53156 KachelY 50025 1.95467502 -1.19297828 111.994629 -68.352620
    Unten links KachelX 53155 KachelY + 1 50026 1.95457915 -1.19301365 111.989136 -68.354647
    Unten rechts KachelX + 1 53156 KachelY + 1 50026 1.95467502 -1.19301365 111.994629 -68.354647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19297828--1.19301365) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dl = 225.342269999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19297828--1.19301365) × R
    3.5369999999979e-05 × 6371000     		dr = 225.342269999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95457915-1.95467502) × cos(-1.19297828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368893285281813 × 6371000     		do = 225.315507085247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95457915-1.95467502) × cos(-1.19301365) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368860409635082 × 6371000     		du = 225.295427042293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19297828)-sin(-1.19301365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368893285281813-0.368860409635082)×R²
    abs(1.95467502-1.95457915)×3.28756467309343e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28756467309343e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28756467309343e-05×40589641000000     		ar = 50770.8453970017m²