Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53153 / 26529
↖ ↑ ↗
← N 32.393878°
E111.978150°		 ← 515.74 m → N 32.393878°
E111.983643°		 →
↑
515.80 m
↓
↑
515.80 m
↓
N 32.389239°
E111.978150°		 ← 515.77 m →
266 024 m²		 N 32.389239°
E111.983643°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.811058044433594 y=0.404808044433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.811058044433594 × 216)
    floor (0.811058044433594 × 65536)
    floor (53153.5)     		tx = 53153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404808044433594 × 216)
    floor (0.404808044433594 × 65536)
    floor (26529.5)     		ty = 26529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53153 / 26529 ti = "16/53153/26529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53153/26529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53153 ÷ 216
    53153 ÷ 65536     		x = 0.811050415039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26529 ÷ 216
    26529 ÷ 65536     		y = 0.404800415039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.811050415039062 × 2 - 1) × π
    0.622100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95438740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404800415039062 × 2 - 1) × π
    0.190399169921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.598156633459061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95438740} λ = 1.95438740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.598156633459061))-π/2
    2×atan(1.81876306143894)-π/2
    2×1.06808807397858-π/2
    2.13617614795717-1.57079632675     		φ = 0.56537982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95438740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.978150°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56537982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.393878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53153 KachelY 26529 1.95438740 0.56537982 111.978150 32.393878
    Oben rechts KachelX + 1 53154 KachelY 26529 1.95448327 0.56537982 111.983643 32.393878
    Unten links KachelX 53153 KachelY + 1 26530 1.95438740 0.56529886 111.978150 32.389239
    Unten rechts KachelX + 1 53154 KachelY + 1 26530 1.95448327 0.56529886 111.983643 32.389239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56537982-0.56529886) × R
    8.09600000000188e-05 × 6371000     		dl = 515.79616000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56537982-0.56529886) × R
    8.09600000000188e-05 × 6371000     		dr = 515.79616000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95438740-1.95448327) × cos(0.56537982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844385177871465 × 6371000     		do = 515.740139813155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95438740-1.95448327) × cos(0.56529886) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.844428548336776 × 6371000     		du = 515.766629962945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56537982)-sin(0.56529886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.844385177871465-0.844428548336776)×R²
    abs(1.95448327-1.95438740)×4.33704653104439e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33704653104439e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33704653104439e-05×40589641000000     		ar = 266023.61557729m²