Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53153 / 102050
↖ ↑ ↗
← S 70.290969°
W 34.010925°		 ← 103 m → S 70.290969°
W 34.008179°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 70.291895°
W 34.010925°		 ← 103 m →
10 604 m²		 S 70.291895°
W 34.008179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53153 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405529022216797 y=0.778583526611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405529022216797 × 217)
    floor (0.405529022216797 × 131072)
    floor (53153.5)     		tx = 53153
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778583526611328 × 217)
    floor (0.778583526611328 × 131072)
    floor (102050.5)     		ty = 102050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53153 / 102050 ti = "17/53153/102050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53153/102050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53153 ÷ 217
    53153 ÷ 131072     		x = 0.405525207519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102050 ÷ 217
    102050 ÷ 131072     		y = 0.778579711914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405525207519531 × 2 - 1) × π
    -0.188949584960938 × 3.1415926535     		Λ = -0.59360263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778579711914062 × 2 - 1) × π
    -0.557159423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75036795272673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59360263} λ = -0.59360263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75036795272673))-π/2
    2×atan(0.173710014616234)-π/2
    2×0.171993739389507-π/2
    0.343987478779014-1.57079632675     		φ = -1.22680885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59360263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.010925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22680885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.290969°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53153 KachelY 102050 -0.59360263 -1.22680885 -34.010925 -70.290969
    Oben rechts KachelX + 1 53154 KachelY 102050 -0.59355469 -1.22680885 -34.008179 -70.290969
    Unten links KachelX 53153 KachelY + 1 102051 -0.59360263 -1.22682501 -34.010925 -70.291895
    Unten rechts KachelX + 1 53154 KachelY + 1 102051 -0.59355469 -1.22682501 -34.008179 -70.291895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22680885--1.22682501) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22680885--1.22682501) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59360263--0.59355469) × cos(-1.22680885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337243643316937 × 6371000     		do = 103.002889320304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59360263--0.59355469) × cos(-1.22682501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337228429967684 × 6371000     		du = 102.998242771851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22680885)-sin(-1.22682501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337243643316937-0.337228429967684)×R²
    abs(-0.59355469--0.59360263)×1.52133492526407e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52133492526407e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52133492526407e-05×40589641000000     		ar = 10604.4603576657m²