Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53152 / 94206
↖ ↑ ↗
← S 61.603784°
W 34.013672°		 ← 145.22 m → S 61.603784°
W 34.010925°		 →
↑
145.26 m
↓
↑
145.26 m
↓
S 61.605090°
W 34.013672°		 ← 145.21 m →
21 094 m²		 S 61.605090°
W 34.010925°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405521392822266 y=0.718738555908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405521392822266 × 217)
    floor (0.405521392822266 × 131072)
    floor (53152.5)     		tx = 53152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718738555908203 × 217)
    floor (0.718738555908203 × 131072)
    floor (94206.5)     		ty = 94206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53152 / 94206 ti = "17/53152/94206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53152/94206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53152 ÷ 217
    53152 ÷ 131072     		x = 0.405517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94206 ÷ 217
    94206 ÷ 131072     		y = 0.718734741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.18896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59365056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718734741210938 × 2 - 1) × π
    -0.437469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.37435091210701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59365056} λ = -0.59365056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37435091210701))-π/2
    2×atan(0.253003764199347)-π/2
    2×0.247803731125726-π/2
    0.495607462251451-1.57079632675     		φ = -1.07518886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59365056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.013672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07518886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.603784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53152 KachelY 94206 -0.59365056 -1.07518886 -34.013672 -61.603784
    Oben rechts KachelX + 1 53153 KachelY 94206 -0.59360263 -1.07518886 -34.010925 -61.603784
    Unten links KachelX 53152 KachelY + 1 94207 -0.59365056 -1.07521166 -34.013672 -61.605090
    Unten rechts KachelX + 1 53153 KachelY + 1 94207 -0.59360263 -1.07521166 -34.010925 -61.605090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07518886--1.07521166) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dl = 145.258799999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07518886--1.07521166) × R
    2.27999999999895e-05 × 6371000     		dr = 145.258799999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59365056--0.59360263) × cos(-1.07518886) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.475566115362733 × 6371000     		do = 145.219834386467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59365056--0.59360263) × cos(-1.07521166) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.475546058535546 × 6371000     		du = 145.213709793002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07518886)-sin(-1.07521166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475566115362733-0.475546058535546)×R²
    abs(-0.59360263--0.59365056)×2.0056827186421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.0056827186421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.0056827186421e-05×40589641000000     		ar = 21094.0140545802m²