Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53150 / 102053
↖ ↑ ↗
← S 70.293748°
W 34.019165°		 ← 102.99 m → S 70.293748°
W 34.016418°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.294674°
W 34.019165°		 ← 102.98 m →
10 610 m²		 S 70.294674°
W 34.016418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53150 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405506134033203 y=0.778606414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405506134033203 × 217)
    floor (0.405506134033203 × 131072)
    floor (53150.5)     		tx = 53150
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778606414794922 × 217)
    floor (0.778606414794922 × 131072)
    floor (102053.5)     		ty = 102053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53150 / 102053 ti = "17/53150/102053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53150/102053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53150 ÷ 217
    53150 ÷ 131072     		x = 0.405502319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102053 ÷ 217
    102053 ÷ 131072     		y = 0.778602600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405502319335938 × 2 - 1) × π
    -0.188995361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59374644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778602600097656 × 2 - 1) × π
    -0.557205200195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.75051176342559
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59374644} λ = -0.59374644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75051176342559))-π/2
    2×atan(0.17368503505384)-π/2
    2×0.171969491408821-π/2
    0.343938982817641-1.57079632675     		φ = -1.22685734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59374644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.019165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22685734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.293748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53150 KachelY 102053 -0.59374644 -1.22685734 -34.019165 -70.293748
    Oben rechts KachelX + 1 53151 KachelY 102053 -0.59369850 -1.22685734 -34.016418 -70.293748
    Unten links KachelX 53150 KachelY + 1 102054 -0.59374644 -1.22687351 -34.019165 -70.294674
    Unten rechts KachelX + 1 53151 KachelY + 1 102054 -0.59369850 -1.22687351 -34.016418 -70.294674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22685734--1.22687351) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dl = 103.019069999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22685734--1.22687351) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dr = 103.019069999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59374644--0.59369850) × cos(-1.22685734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337197993590648 × 6371000     		do = 102.988946718871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59374644--0.59369850) × cos(-1.22687351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337182770562764 × 6371000     		du = 102.984297214315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22685734)-sin(-1.22687351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337197993590648-0.337182770562764)×R²
    abs(-0.59369850--0.59374644)×1.52230278843146e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52230278843146e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52230278843146e-05×40589641000000     		ar = 10609.5860173883m²