Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53149 / 102045
↖ ↑ ↗
← S 70.286338°
W 34.021912°		 ← 103.03 m → S 70.286338°
W 34.019165°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.287264°
W 34.021912°		 ← 103.02 m →
10 613 m²		 S 70.287264°
W 34.019165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405498504638672 y=0.778545379638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405498504638672 × 217)
    floor (0.405498504638672 × 131072)
    floor (53149.5)     		tx = 53149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778545379638672 × 217)
    floor (0.778545379638672 × 131072)
    floor (102045.5)     		ty = 102045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53149 / 102045 ti = "17/53149/102045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53149/102045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53149 ÷ 217
    53149 ÷ 131072     		x = 0.405494689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102045 ÷ 217
    102045 ÷ 131072     		y = 0.778541564941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405494689941406 × 2 - 1) × π
    -0.189010620117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.59379438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778541564941406 × 2 - 1) × π
    -0.557083129882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75012826822863
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59379438} λ = -0.59379438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75012826822863))-π/2
    2×atan(0.173751655204004)-π/2
    2×0.172034159986524-π/2
    0.344068319973048-1.57079632675     		φ = -1.22672801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59379438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.021912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22672801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.286338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53149 KachelY 102045 -0.59379438 -1.22672801 -34.021912 -70.286338
    Oben rechts KachelX + 1 53150 KachelY 102045 -0.59374644 -1.22672801 -34.019165 -70.286338
    Unten links KachelX 53149 KachelY + 1 102046 -0.59379438 -1.22674418 -34.021912 -70.287264
    Unten rechts KachelX + 1 53150 KachelY + 1 102046 -0.59374644 -1.22674418 -34.019165 -70.287264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22672801--1.22674418) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dl = 103.019070000593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22672801--1.22674418) × R
    1.61700000000931e-05 × 6371000     		dr = 103.019070000593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59379438--0.59374644) × cos(-1.22672801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337319746397681 × 6371000     		do = 103.026133160056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59379438--0.59374644) × cos(-1.22674418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337304524075079 × 6371000     		du = 103.021483870911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22672801)-sin(-1.22674418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337319746397681-0.337304524075079)×R²
    abs(-0.59374644--0.59379438)×1.52223226024262e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52223226024262e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52223226024262e-05×40589641000000     		ar = 10613.41694132m²