Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53148 / 102044
↖ ↑ ↗
← S 70.285411°
W 34.024658°		 ← 103.01 m → S 70.285411°
W 34.021912°		 →
↑
103.02 m
↓
↑
103.02 m
↓
S 70.286338°
W 34.024658°		 ← 103 m →
10 612 m²		 S 70.286338°
W 34.021912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405490875244141 y=0.778537750244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405490875244141 × 217)
    floor (0.405490875244141 × 131072)
    floor (53148.5)     		tx = 53148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778537750244141 × 217)
    floor (0.778537750244141 × 131072)
    floor (102044.5)     		ty = 102044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53148 / 102044 ti = "17/53148/102044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53148/102044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53148 ÷ 217
    53148 ÷ 131072     		x = 0.405487060546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102044 ÷ 217
    102044 ÷ 131072     		y = 0.778533935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.18902587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59384231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778533935546875 × 2 - 1) × π
    -0.55706787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75008033132901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59384231} λ = -0.59384231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75008033132901))-π/2
    2×atan(0.173759984519298)-π/2
    2×0.172042245200437-π/2
    0.344084490400875-1.57079632675     		φ = -1.22671184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59384231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.024658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22671184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.285411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53148 KachelY 102044 -0.59384231 -1.22671184 -34.024658 -70.285411
    Oben rechts KachelX + 1 53149 KachelY 102044 -0.59379438 -1.22671184 -34.021912 -70.285411
    Unten links KachelX 53148 KachelY + 1 102045 -0.59384231 -1.22672801 -34.024658 -70.286338
    Unten rechts KachelX + 1 53149 KachelY + 1 102045 -0.59379438 -1.22672801 -34.021912 -70.286338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22671184--1.22672801) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dl = 103.019069999178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22671184--1.22672801) × R
    1.6169999999871e-05 × 6371000     		dr = 103.019069999178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59384231--0.59379438) × cos(-1.22671184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337334968632085 × 6371000     		do = 103.009290811543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59384231--0.59379438) × cos(-1.22672801) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.337319746397681 × 6371000     		du = 103.004642519144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22671184)-sin(-1.22672801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337334968632085-0.337319746397681)×R²
    abs(-0.59379438--0.59384231)×1.52222344035891e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52222344035891e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52222344035891e-05×40589641000000     		ar = 10611.6819095284m²