Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53146 / 94218
↖ ↑ ↗
← S 61.619454°
W 34.030152°		 ← 145.18 m → S 61.619454°
W 34.027405°		 →
↑
145.20 m
↓
↑
145.20 m
↓
S 61.620760°
W 34.030152°		 ← 145.17 m →
21 078 m²		 S 61.620760°
W 34.027405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405475616455078 y=0.718830108642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405475616455078 × 217)
    floor (0.405475616455078 × 131072)
    floor (53146.5)     		tx = 53146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718830108642578 × 217)
    floor (0.718830108642578 × 131072)
    floor (94218.5)     		ty = 94218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53146 / 94218 ti = "17/53146/94218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53146/94218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53146 ÷ 217
    53146 ÷ 131072     		x = 0.405471801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94218 ÷ 217
    94218 ÷ 131072     		y = 0.718826293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405471801757812 × 2 - 1) × π
    -0.189056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59393819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.718826293945312 × 2 - 1) × π
    -0.437652587890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.37492615490245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59393819} λ = -0.59393819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37492615490245))-π/2
    2×atan(0.25285826745876)-π/2
    2×0.247666982740053-π/2
    0.495333965480106-1.57079632675     		φ = -1.07546236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59393819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.030152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07546236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.619454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53146 KachelY 94218 -0.59393819 -1.07546236 -34.030152 -61.619454
    Oben rechts KachelX + 1 53147 KachelY 94218 -0.59389025 -1.07546236 -34.027405 -61.619454
    Unten links KachelX 53146 KachelY + 1 94219 -0.59393819 -1.07548515 -34.030152 -61.620760
    Unten rechts KachelX + 1 53147 KachelY + 1 94219 -0.59389025 -1.07548515 -34.027405 -61.620760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07546236--1.07548515) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dl = 145.19509000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07546236--1.07548515) × R
    2.27900000000503e-05 × 6371000     		dr = 145.19509000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59393819--0.59389025) × cos(-1.07546236) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475325505104074 × 6371000     		do = 145.176644137527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59393819--0.59389025) × cos(-1.07548515) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475305454110374 × 6371000     		du = 145.170520047938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07546236)-sin(-1.07548515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475325505104074-0.475305454110374)×R²
    abs(-0.59389025--0.59393819)×2.00509937005044e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00509937005044e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00509937005044e-05×40589641000000     		ar = 21078.4913185095m²