Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53146 / 102054
↖ ↑ ↗
← S 70.294674°
W 34.030152°		 ← 102.98 m → S 70.294674°
W 34.027405°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 70.295600°
W 34.030152°		 ← 102.98 m →
10 603 m²		 S 70.295600°
W 34.027405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405475616455078 y=0.778614044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405475616455078 × 217)
    floor (0.405475616455078 × 131072)
    floor (53146.5)     		tx = 53146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778614044189453 × 217)
    floor (0.778614044189453 × 131072)
    floor (102054.5)     		ty = 102054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53146 / 102054 ti = "17/53146/102054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53146/102054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53146 ÷ 217
    53146 ÷ 131072     		x = 0.405471801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102054 ÷ 217
    102054 ÷ 131072     		y = 0.778610229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405471801757812 × 2 - 1) × π
    -0.189056396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.59393819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778610229492188 × 2 - 1) × π
    -0.557220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75055970032521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59393819} λ = -0.59393819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75055970032521))-π/2
    2×atan(0.173676709331305)-π/2
    2×0.171961409478093-π/2
    0.343922818956186-1.57079632675     		φ = -1.22687351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59393819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.030152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22687351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.294674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53146 KachelY 102054 -0.59393819 -1.22687351 -34.030152 -70.294674
    Oben rechts KachelX + 1 53147 KachelY 102054 -0.59389025 -1.22687351 -34.027405 -70.294674
    Unten links KachelX 53146 KachelY + 1 102055 -0.59393819 -1.22688967 -34.030152 -70.295600
    Unten rechts KachelX + 1 53147 KachelY + 1 102055 -0.59389025 -1.22688967 -34.027405 -70.295600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22687351--1.22688967) × R
    1.61600000001538e-05 × 6371000     		dl = 102.95536000098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22687351--1.22688967) × R
    1.61600000001538e-05 × 6371000     		dr = 102.95536000098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59393819--0.59389025) × cos(-1.22687351) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337182770562764 × 6371000     		do = 102.984297214553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59393819--0.59389025) × cos(-1.22688967) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.337167556861163 × 6371000     		du = 102.979650558484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22687351)-sin(-1.22688967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337182770562764-0.337167556861163)×R²
    abs(-0.59389025--0.59393819)×1.52137016008469e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.52137016008469e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.52137016008469e-05×40589641000000     		ar = 10602.5461953891m²