Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53145 / 21449
↖ ↑ ↗
← N 52.666389°
E111.934204°		 ← 370.42 m → N 52.666389°
E111.939697°		 →
↑
370.47 m
↓
↑
370.47 m
↓
N 52.663058°
E111.934204°		 ← 370.44 m →
137 234 m²		 N 52.663058°
E111.939697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810935974121094 y=0.327293395996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810935974121094 × 216)
    floor (0.810935974121094 × 65536)
    floor (53145.5)     		tx = 53145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327293395996094 × 216)
    floor (0.327293395996094 × 65536)
    floor (21449.5)     		ty = 21449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53145 / 21449 ti = "16/53145/21449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53145/21449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53145 ÷ 216
    53145 ÷ 65536     		x = 0.810928344726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21449 ÷ 216
    21449 ÷ 65536     		y = 0.327285766601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810928344726562 × 2 - 1) × π
    0.621856689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95362041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327285766601562 × 2 - 1) × π
    0.345428466796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08519553359883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95362041} λ = 1.95362041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08519553359883))-π/2
    2×atan(2.96001854523617)-π/2
    2×1.24499911132675-π/2
    2.48999822265351-1.57079632675     		φ = 0.91920190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95362041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.934204°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91920190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.666389°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53145 KachelY 21449 1.95362041 0.91920190 111.934204 52.666389
    Oben rechts KachelX + 1 53146 KachelY 21449 1.95371628 0.91920190 111.939697 52.666389
    Unten links KachelX 53145 KachelY + 1 21450 1.95362041 0.91914375 111.934204 52.663058
    Unten rechts KachelX + 1 53146 KachelY + 1 21450 1.95371628 0.91914375 111.939697 52.663058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91920190-0.91914375) × R
    5.81499999999791e-05 × 6371000     		dl = 370.473649999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91920190-0.91914375) × R
    5.81499999999791e-05 × 6371000     		dr = 370.473649999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95362041-1.95371628) × cos(0.91920190) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606454933286318 × 6371000     		do = 370.415256307441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95362041-1.95371628) × cos(0.91914375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.606501168364606 × 6371000     		du = 370.443496127804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91920190)-sin(0.91914375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606454933286318-0.606501168364606)×R²
    abs(1.95371628-1.95362041)×4.62350782878262e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62350782878262e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62350782878262e-05×40589641000000     		ar = 137234.323113016m²