Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53143 / 22551
↖ ↑ ↗
← N 48.839413°
E111.923218°		 ← 402 m → N 48.839413°
E111.928711°		 →
↑
402.01 m
↓
↑
402.01 m
↓
N 48.835798°
E111.923218°		 ← 402.03 m →
161 615 m²		 N 48.835798°
E111.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810905456542969 y=0.344108581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810905456542969 × 216)
    floor (0.810905456542969 × 65536)
    floor (53143.5)     		tx = 53143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344108581542969 × 216)
    floor (0.344108581542969 × 65536)
    floor (22551.5)     		ty = 22551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53143 / 22551 ti = "16/53143/22551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53143/22551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53143 ÷ 216
    53143 ÷ 65536     		x = 0.810897827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22551 ÷ 216
    22551 ÷ 65536     		y = 0.344100952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810897827148438 × 2 - 1) × π
    0.621795654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95342866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344100952148438 × 2 - 1) × π
    0.311798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979542606836227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95342866} λ = 1.95342866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979542606836227))-π/2
    2×atan(2.66323781653015)-π/2
    2×1.21160244451721-π/2
    2.42320488903442-1.57079632675     		φ = 0.85240856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95342866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.923218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85240856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.839413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53143 KachelY 22551 1.95342866 0.85240856 111.923218 48.839413
    Oben rechts KachelX + 1 53144 KachelY 22551 1.95352453 0.85240856 111.928711 48.839413
    Unten links KachelX 53143 KachelY + 1 22552 1.95342866 0.85234546 111.923218 48.835798
    Unten rechts KachelX + 1 53144 KachelY + 1 22552 1.95352453 0.85234546 111.928711 48.835798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85240856-0.85234546) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dl = 402.010099999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85240856-0.85234546) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dr = 402.010099999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95342866-1.95352453) × cos(0.85240856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658171729368506 × 6371000     		do = 402.003242858025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95342866-1.95352453) × cos(0.85234546) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658219234018474 × 6371000     		du = 402.032258117243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85240856)-sin(0.85234546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658171729368506-0.658219234018474)×R²
    abs(1.95352453-1.95342866)×4.75046499682774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75046499682774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75046499682774e-05×40589641000000     		ar = 161615.196128975m²