Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53143 / 21433
↖ ↑ ↗
← N 52.719658°
E111.923218°		 ← 369.96 m → N 52.719658°
E111.928711°		 →
↑
370.03 m
↓
↑
370.03 m
↓
N 52.716331°
E111.923218°		 ← 369.99 m →
136 902 m²		 N 52.716331°
E111.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810905456542969 y=0.327049255371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810905456542969 × 216)
    floor (0.810905456542969 × 65536)
    floor (53143.5)     		tx = 53143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327049255371094 × 216)
    floor (0.327049255371094 × 65536)
    floor (21433.5)     		ty = 21433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53143 / 21433 ti = "16/53143/21433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53143/21433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53143 ÷ 216
    53143 ÷ 65536     		x = 0.810897827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21433 ÷ 216
    21433 ÷ 65536     		y = 0.327041625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810897827148438 × 2 - 1) × π
    0.621795654296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95342866
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327041625976562 × 2 - 1) × π
    0.345916748046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08672951438667
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95342866} λ = 1.95342866}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08672951438667))-π/2
    2×atan(2.96456264120311)-π/2
    2×1.24546397281806-π/2
    2.49092794563611-1.57079632675     		φ = 0.92013162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95342866} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.923218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92013162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.719658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53143 KachelY 21433 1.95342866 0.92013162 111.923218 52.719658
    Oben rechts KachelX + 1 53144 KachelY 21433 1.95352453 0.92013162 111.928711 52.719658
    Unten links KachelX 53143 KachelY + 1 21434 1.95342866 0.92007354 111.923218 52.716331
    Unten rechts KachelX + 1 53144 KachelY + 1 21434 1.95352453 0.92007354 111.928711 52.716331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92013162-0.92007354) × R
    5.80800000000714e-05 × 6371000     		dl = 370.027680000455m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92013162-0.92007354) × R
    5.80800000000714e-05 × 6371000     		dr = 370.027680000455m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95342866-1.95352453) × cos(0.92013162) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605715434310975 × 6371000     		do = 369.963579377374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95342866-1.95352453) × cos(0.92007354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.605761646462201 × 6371000     		du = 369.991805194168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92013162)-sin(0.92007354))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.605715434310975-0.605761646462201)×R²
    abs(1.95352453-1.95342866)×4.62121512255775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.62121512255775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.62121512255775e-05×40589641000000     		ar = 136901.987166896m²