Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53142 / 21383
↖ ↑ ↗
← N 52.885706°
E111.917725°		 ← 368.55 m → N 52.885706°
E111.923218°		 →
↑
368.63 m
↓
↑
368.63 m
↓
N 52.882391°
E111.917725°		 ← 368.58 m →
135 864 m²		 N 52.882391°
E111.923218°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810890197753906 y=0.326286315917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810890197753906 × 216)
    floor (0.810890197753906 × 65536)
    floor (53142.5)     		tx = 53142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326286315917969 × 216)
    floor (0.326286315917969 × 65536)
    floor (21383.5)     		ty = 21383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53142 / 21383 ti = "16/53142/21383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53142/21383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53142 ÷ 216
    53142 ÷ 65536     		x = 0.810882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21383 ÷ 216
    21383 ÷ 65536     		y = 0.326278686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810882568359375 × 2 - 1) × π
    0.62176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.95333279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326278686523438 × 2 - 1) × π
    0.347442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09152320434868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95333279} λ = 1.95333279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09152320434868))-π/2
    2×atan(2.97880795190031)-π/2
    2×1.2469130115302-π/2
    2.49382602306041-1.57079632675     		φ = 0.92302970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95333279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.917725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92302970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.885706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53142 KachelY 21383 1.95333279 0.92302970 111.917725 52.885706
    Oben rechts KachelX + 1 53143 KachelY 21383 1.95342866 0.92302970 111.923218 52.885706
    Unten links KachelX 53142 KachelY + 1 21384 1.95333279 0.92297184 111.917725 52.882391
    Unten rechts KachelX + 1 53143 KachelY + 1 21384 1.95342866 0.92297184 111.923218 52.882391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92302970-0.92297184) × R
    5.78599999999652e-05 × 6371000     		dl = 368.626059999778m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92302970-0.92297184) × R
    5.78599999999652e-05 × 6371000     		dr = 368.626059999778m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95333279-1.95342866) × cos(0.92302970) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603406945668485 × 6371000     		do = 368.553582747357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95333279-1.95342866) × cos(0.92297184) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603453084156052 × 6371000     		du = 368.581763571289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92302970)-sin(0.92297184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603406945668485-0.603453084156052)×R²
    abs(1.95342866-1.95333279)×4.61384875674042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61384875674042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61384875674042e-05×40589641000000     		ar = 135863.649237731m²