Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53141 / 22572
↖ ↑ ↗
← N 48.763431°
E111.912231°		 ← 402.65 m → N 48.763431°
E111.917725°		 →
↑
402.65 m
↓
↑
402.65 m
↓
N 48.759810°
E111.912231°		 ← 402.68 m →
162 134 m²		 N 48.759810°
E111.917725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810874938964844 y=0.344429016113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810874938964844 × 216)
    floor (0.810874938964844 × 65536)
    floor (53141.5)     		tx = 53141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344429016113281 × 216)
    floor (0.344429016113281 × 65536)
    floor (22572.5)     		ty = 22572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53141 / 22572 ti = "16/53141/22572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53141/22572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53141 ÷ 216
    53141 ÷ 65536     		x = 0.810867309570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22572 ÷ 216
    22572 ÷ 65536     		y = 0.34442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810867309570312 × 2 - 1) × π
    0.621734619140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95323691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34442138671875 × 2 - 1) × π
    0.3111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.977529257052185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95323691} λ = 1.95323691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.977529257052185))-π/2
    2×atan(2.65788118144689)-π/2
    2×1.21093937735134-π/2
    2.42187875470267-1.57079632675     		φ = 0.85108243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95323691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.912231°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85108243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.763431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53141 KachelY 22572 1.95323691 0.85108243 111.912231 48.763431
    Oben rechts KachelX + 1 53142 KachelY 22572 1.95333279 0.85108243 111.917725 48.763431
    Unten links KachelX 53141 KachelY + 1 22573 1.95323691 0.85101923 111.912231 48.759810
    Unten rechts KachelX + 1 53142 KachelY + 1 22573 1.95333279 0.85101923 111.917725 48.759810
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85108243-0.85101923) × R
    6.319999999993e-05 × 6371000     		dl = 402.647199999554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85108243-0.85101923) × R
    6.319999999993e-05 × 6371000     		dr = 402.647199999554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95323691-1.95333279) × cos(0.85108243) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.659169550958705 × 6371000     		do = 402.654695773796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95323691-1.95333279) × cos(0.85101923) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.65921707568518 × 6371000     		du = 402.6837263233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85108243)-sin(0.85101923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659169550958705-0.65921707568518)×R²
    abs(1.95333279-1.95323691)×4.75247264751788e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75247264751788e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75247264751788e-05×40589641000000     		ar = 162133.630408671m²