Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53138 / 22550
↖ ↑ ↗
← N 48.843028°
E111.895752°		 ← 401.97 m → N 48.843028°
E111.901245°		 →
↑
402.01 m
↓
↑
402.01 m
↓
N 48.839413°
E111.895752°		 ← 402 m →
161 604 m²		 N 48.839413°
E111.901245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810829162597656 y=0.344093322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810829162597656 × 216)
    floor (0.810829162597656 × 65536)
    floor (53138.5)     		tx = 53138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344093322753906 × 216)
    floor (0.344093322753906 × 65536)
    floor (22550.5)     		ty = 22550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53138 / 22550 ti = "16/53138/22550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53138/22550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53138 ÷ 216
    53138 ÷ 65536     		x = 0.810821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22550 ÷ 216
    22550 ÷ 65536     		y = 0.344085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810821533203125 × 2 - 1) × π
    0.62164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.95294929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344085693359375 × 2 - 1) × π
    0.31182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.979638480635468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95294929} λ = 1.95294929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.979638480635468))-π/2
    2×atan(2.66349316349825)-π/2
    2×1.21163399409059-π/2
    2.42326798818118-1.57079632675     		φ = 0.85247166
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95294929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.895752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85247166 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.843028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53138 KachelY 22550 1.95294929 0.85247166 111.895752 48.843028
    Oben rechts KachelX + 1 53139 KachelY 22550 1.95304516 0.85247166 111.901245 48.843028
    Unten links KachelX 53138 KachelY + 1 22551 1.95294929 0.85240856 111.895752 48.839413
    Unten rechts KachelX + 1 53139 KachelY + 1 22551 1.95304516 0.85240856 111.901245 48.839413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85247166-0.85240856) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dl = 402.010099999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85247166-0.85240856) × R
    6.30999999999826e-05 × 6371000     		dr = 402.010099999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95294929-1.95304516) × cos(0.85247166) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658124222097955 × 6371000     		do = 401.974225998186m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95294929-1.95304516) × cos(0.85240856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.658171729368506 × 6371000     		du = 402.003242858025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85247166)-sin(0.85240856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658124222097955-0.658171729368506)×R²
    abs(1.95304516-1.95294929)×4.75072705513613e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75072705513613e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75072705513613e-05×40589641000000     		ar = 161603.531379769m²