Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53137 / 50031
↖ ↑ ↗
← S 68.364776°
E111.890259°		 ← 225.20 m → S 68.364776°
E111.895752°		 →
↑
225.21 m
↓
↑
225.21 m
↓
S 68.366801°
E111.890259°		 ← 225.17 m →
50 715 m²		 S 68.366801°
E111.895752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810813903808594 y=0.763420104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810813903808594 × 216)
    floor (0.810813903808594 × 65536)
    floor (53137.5)     		tx = 53137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763420104980469 × 216)
    floor (0.763420104980469 × 65536)
    floor (50031.5)     		ty = 50031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53137 / 50031 ti = "16/53137/50031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53137/50031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53137 ÷ 216
    53137 ÷ 65536     		x = 0.810806274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50031 ÷ 216
    50031 ÷ 65536     		y = 0.763412475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810806274414062 × 2 - 1) × π
    0.621612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.95285342
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763412475585938 × 2 - 1) × π
    -0.526824951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65506939628206
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95285342} λ = 1.95285342}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65506939628206))-π/2
    2×atan(0.191078795087392)-π/2
    2×0.188802947693575-π/2
    0.37760589538715-1.57079632675     		φ = -1.19319043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95285342} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.890259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19319043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.364776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53137 KachelY 50031 1.95285342 -1.19319043 111.890259 -68.364776
    Oben rechts KachelX + 1 53138 KachelY 50031 1.95294929 -1.19319043 111.895752 -68.364776
    Unten links KachelX 53137 KachelY + 1 50032 1.95285342 -1.19322578 111.890259 -68.366801
    Unten rechts KachelX + 1 53138 KachelY + 1 50032 1.95294929 -1.19322578 111.895752 -68.366801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19319043--1.19322578) × R
    3.53499999998785e-05 × 6371000     		dl = 225.214849999226m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19319043--1.19322578) × R
    3.53499999998785e-05 × 6371000     		dr = 225.214849999226m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95285342-1.95294929) × cos(-1.19319043) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368696089548881 × 6371000     		do = 225.195062343276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95285342-1.95294929) × cos(-1.19322578) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.368663229726192 × 6371000     		du = 225.174991965454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19319043)-sin(-1.19322578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.368696089548881-0.368663229726192)×R²
    abs(1.95294929-1.95285342)×3.28598226883581e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.28598226883581e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.28598226883581e-05×40589641000000     		ar = 50715.0121180773m²