Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53134 / 94072
↖ ↑ ↗
← S 61.428261°
W 34.063110°		 ← 146.07 m → S 61.428261°
W 34.060364°		 →
↑
146.09 m
↓
↑
146.09 m
↓
S 61.429574°
W 34.063110°		 ← 146.07 m →
21 339 m²		 S 61.429574°
W 34.060364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405384063720703 y=0.717716217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405384063720703 × 217)
    floor (0.405384063720703 × 131072)
    floor (53134.5)     		tx = 53134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717716217041016 × 217)
    floor (0.717716217041016 × 131072)
    floor (94072.5)     		ty = 94072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53134 / 94072 ti = "17/53134/94072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53134/94072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53134 ÷ 217
    53134 ÷ 131072     		x = 0.405380249023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94072 ÷ 217
    94072 ÷ 131072     		y = 0.71771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405380249023438 × 2 - 1) × π
    -0.189239501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.59451343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71771240234375 × 2 - 1) × π
    -0.4354248046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.36792736755792
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59451343} λ = -0.59451343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36792736755792))-π/2
    2×atan(0.254634176055206)-π/2
    2×0.249335462364492-π/2
    0.498670924728984-1.57079632675     		φ = -1.07212540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59451343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.063110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07212540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.428261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53134 KachelY 94072 -0.59451343 -1.07212540 -34.063110 -61.428261
    Oben rechts KachelX + 1 53135 KachelY 94072 -0.59446549 -1.07212540 -34.060364 -61.428261
    Unten links KachelX 53134 KachelY + 1 94073 -0.59451343 -1.07214833 -34.063110 -61.429574
    Unten rechts KachelX + 1 53135 KachelY + 1 94073 -0.59446549 -1.07214833 -34.060364 -61.429574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07212540--1.07214833) × R
    2.29300000000876e-05 × 6371000     		dl = 146.087030000558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07212540--1.07214833) × R
    2.29300000000876e-05 × 6371000     		dr = 146.087030000558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59451343--0.59446549) × cos(-1.07212540) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478258744042212 × 6371000     		do = 146.072530810467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59451343--0.59446549) × cos(-1.07214833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478238606355312 × 6371000     		du = 146.066380242544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07212540)-sin(-1.07214833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478258744042212-0.478238606355312)×R²
    abs(-0.59446549--0.59451343)×2.0137686900068e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0137686900068e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0137686900068e-05×40589641000000     		ar = 21338.8529325871m²