Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53134 / 21394
↖ ↑ ↗
← N 52.849230°
E111.873780°		 ← 368.86 m → N 52.849230°
E111.879273°		 →
↑
368.88 m
↓
↑
368.88 m
↓
N 52.845913°
E111.873780°		 ← 368.89 m →
136 072 m²		 N 52.845913°
E111.879273°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810768127441406 y=0.326454162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810768127441406 × 216)
    floor (0.810768127441406 × 65536)
    floor (53134.5)     		tx = 53134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326454162597656 × 216)
    floor (0.326454162597656 × 65536)
    floor (21394.5)     		ty = 21394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53134 / 21394 ti = "16/53134/21394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53134/21394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53134 ÷ 216
    53134 ÷ 65536     		x = 0.810760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21394 ÷ 216
    21394 ÷ 65536     		y = 0.326446533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810760498046875 × 2 - 1) × π
    0.62152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95256580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326446533203125 × 2 - 1) × π
    0.34710693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09046859255704
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95256580} λ = 1.95256580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09046859255704))-π/2
    2×atan(2.97566812185111)-π/2
    2×1.24659469768063-π/2
    2.49318939536127-1.57079632675     		φ = 0.92239307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95256580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.873780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92239307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.849230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53134 KachelY 21394 1.95256580 0.92239307 111.873780 52.849230
    Oben rechts KachelX + 1 53135 KachelY 21394 1.95266167 0.92239307 111.879273 52.849230
    Unten links KachelX 53134 KachelY + 1 21395 1.95256580 0.92233517 111.873780 52.845913
    Unten rechts KachelX + 1 53135 KachelY + 1 21395 1.95266167 0.92233517 111.879273 52.845913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92239307-0.92233517) × R
    5.79000000000551e-05 × 6371000     		dl = 368.880900000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92239307-0.92233517) × R
    5.79000000000551e-05 × 6371000     		dr = 368.880900000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95256580-1.95266167) × cos(0.92239307) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603914493392065 × 6371000     		do = 368.863586689611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95256580-1.95266167) × cos(0.92233517) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.603960641523257 × 6371000     		du = 368.891773403752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92239307)-sin(0.92233517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.603914493392065-0.603960641523257)×R²
    abs(1.95266167-1.95256580)×4.61481311921919e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.61481311921919e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.61481311921919e-05×40589641000000     		ar = 136071.930643505m²