Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 53133 / 94069
↖ ↑ ↗
← S 61.424320°
W 34.065857°		 ← 146.09 m → S 61.424320°
W 34.063110°		 →
↑
146.09 m
↓
↑
146.09 m
↓
S 61.425634°
W 34.065857°		 ← 146.08 m →
21 342 m²		 S 61.425634°
W 34.063110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405376434326172 y=0.717693328857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405376434326172 × 217)
    floor (0.405376434326172 × 131072)
    floor (53133.5)     		tx = 53133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717693328857422 × 217)
    floor (0.717693328857422 × 131072)
    floor (94069.5)     		ty = 94069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53133 / 94069 ti = "17/53133/94069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53133/94069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53133 ÷ 217
    53133 ÷ 131072     		x = 0.405372619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94069 ÷ 217
    94069 ÷ 131072     		y = 0.717689514160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.405372619628906 × 2 - 1) × π
    -0.189254760742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.59456137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.717689514160156 × 2 - 1) × π
    -0.435379028320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.36778355685906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59456137} λ = -0.59456137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36778355685906))-π/2
    2×atan(0.254670797807255)-π/2
    2×0.249369853898176-π/2
    0.498739707796352-1.57079632675     		φ = -1.07205662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59456137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.065857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07205662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.424320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53133 KachelY 94069 -0.59456137 -1.07205662 -34.065857 -61.424320
    Oben rechts KachelX + 1 53134 KachelY 94069 -0.59451343 -1.07205662 -34.063110 -61.424320
    Unten links KachelX 53133 KachelY + 1 94070 -0.59456137 -1.07207955 -34.065857 -61.425634
    Unten rechts KachelX + 1 53134 KachelY + 1 94070 -0.59451343 -1.07207955 -34.063110 -61.425634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07205662--1.07207955) × R
    2.29300000000876e-05 × 6371000     		dl = 146.087030000558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07205662--1.07207955) × R
    2.29300000000876e-05 × 6371000     		dr = 146.087030000558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59456137--0.59451343) × cos(-1.07205662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478319146812241 × 6371000     		do = 146.090979371202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59456137--0.59451343) × cos(-1.07207955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.478299009879647 × 6371000     		du = 146.084829033663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07205662)-sin(-1.07207955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.478319146812241-0.478299009879647)×R²
    abs(-0.59451343--0.59456137)×2.01369325942835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01369325942835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01369325942835e-05×40589641000000     		ar = 21341.5480446943m²