Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 53131 / 21363
↖ ↑ ↗
← N 52.951948°
E111.857300°		 ← 368.03 m → N 52.951948°
E111.862793°		 →
↑
367.99 m
↓
↑
367.99 m
↓
N 52.948638°
E111.857300°		 ← 368.06 m →
135 436 m²		 N 52.948638°
E111.862793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.810722351074219 y=0.325981140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.810722351074219 × 216)
    floor (0.810722351074219 × 65536)
    floor (53131.5)     		tx = 53131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325981140136719 × 216)
    floor (0.325981140136719 × 65536)
    floor (21363.5)     		ty = 21363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 53131 / 21363 ti = "16/53131/21363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/53131/21363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53131 ÷ 216
    53131 ÷ 65536     		x = 0.810714721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21363 ÷ 216
    21363 ÷ 65536     		y = 0.325973510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.810714721679688 × 2 - 1) × π
    0.621429443359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.95227817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325973510742188 × 2 - 1) × π
    0.348052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09344068033348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.95227817} λ = 1.95227817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09344068033348))-π/2
    2×atan(2.98452522422588)-π/2
    2×1.24749107850582-π/2
    2.49498215701163-1.57079632675     		φ = 0.92418583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.95227817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 111.857300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92418583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.951948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53131 KachelY 21363 1.95227817 0.92418583 111.857300 52.951948
    Oben rechts KachelX + 1 53132 KachelY 21363 1.95237405 0.92418583 111.862793 52.951948
    Unten links KachelX 53131 KachelY + 1 21364 1.95227817 0.92412807 111.857300 52.948638
    Unten rechts KachelX + 1 53132 KachelY + 1 21364 1.95237405 0.92412807 111.862793 52.948638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92418583-0.92412807) × R
    5.77600000000178e-05 × 6371000     		dl = 367.988960000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92418583-0.92412807) × R
    5.77600000000178e-05 × 6371000     		dr = 367.988960000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.95227817-1.95237405) × cos(0.92418583) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.602484605907175 × 6371000     		do = 368.028613195373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.95227817-1.95237405) × cos(0.92412807) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.602530704919987 × 6371000     		du = 368.056772845576m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92418583)-sin(0.92412807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.602484605907175-0.602530704919987)×R²
    abs(1.95237405-1.95227817)×4.60990128114958e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.60990128114958e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.60990128114958e-05×40589641000000     		ar = 135435.647878128m²