Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5313 / 6077
↖ ↑ ↗
← S 65.311829°
E 53.481445°		 ← 2 040.99 m → S 65.311829°
E 53.525391°		 →
↑
2 040.31 m
↓
↑
2 040.31 m
↓
S 65.330178°
E 53.481445°		 ← 2 039.57 m →
4 162 803 m²		 S 65.330178°
E 53.525391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5313 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.64862060546875 y=0.74188232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.64862060546875 × 213)
    floor (0.64862060546875 × 8192)
    floor (5313.5)     		tx = 5313
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74188232421875 × 213)
    floor (0.74188232421875 × 8192)
    floor (6077.5)     		ty = 6077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5313 / 6077 ti = "13/5313/6077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5313/6077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5313 ÷ 213
    5313 ÷ 8192     		x = 0.6485595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6077 ÷ 213
    6077 ÷ 8192     		y = 0.7418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6485595703125 × 2 - 1) × π
    0.297119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.93342731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.483642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5194079703573
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93342731} λ = 0.93342731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5194079703573))-π/2
    2×atan(0.218841409209226)-π/2
    2×0.215444932916612-π/2
    0.430889865833225-1.57079632675     		φ = -1.13990646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93342731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.481445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13990646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.311829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5313 KachelY 6077 0.93342731 -1.13990646 53.481445 -65.311829
    Oben rechts KachelX + 1 5314 KachelY 6077 0.93419430 -1.13990646 53.525391 -65.311829
    Unten links KachelX 5313 KachelY + 1 6078 0.93342731 -1.14022671 53.481445 -65.330178
    Unten rechts KachelX + 1 5314 KachelY + 1 6078 0.93419430 -1.14022671 53.525391 -65.330178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13990646--1.14022671) × R
    0.000320250000000133 × 6371000     		dl = 2040.31275000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13990646--1.14022671) × R
    0.000320250000000133 × 6371000     		dr = 2040.31275000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93342731-0.93419430) × cos(-1.13990646) × R
    0.000766990000000023 × 0.417679495708541 × 6371000     		do = 2040.98805315043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93342731-0.93419430) × cos(-1.14022671) × R
    0.000766990000000023 × 0.417388496928577 × 6371000     		du = 2039.56608956474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13990646)-sin(-1.14022671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.417679495708541-0.417388496928577)×R²
    abs(0.93419430-0.93342731)×0.000290998779963636×R²
    0.000766990000000023×0.000290998779963636×6371000²
    0.000766990000000023×0.000290998779963636×40589641000000     		ar = 4162803.3578017m²