Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 53128 / 94232
↖ ↑ ↗
← S 61.637726°
W 34.079590°		 ← 145.09 m → S 61.637726°
W 34.076843°		 →
↑
145.07 m
↓
↑
145.07 m
↓
S 61.639031°
W 34.079590°		 ← 145.08 m →
21 048 m²		 S 61.639031°
W 34.076843°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 53128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 94232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.405338287353516 y=0.718936920166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.405338287353516 × 217)
    floor (0.405338287353516 × 131072)
    floor (53128.5)     		tx = 53128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.718936920166016 × 217)
    floor (0.718936920166016 × 131072)
    floor (94232.5)     		ty = 94232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 53128 / 94232 ti = "17/53128/94232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/53128/94232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 53128 ÷ 217
    53128 ÷ 131072     		x = 0.40533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 94232 ÷ 217
    94232 ÷ 131072     		y = 0.71893310546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1893310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.59480105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.4378662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.37559727149713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59480105} λ = -0.59480105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.37559727149713))-π/2
    2×atan(0.252688627009993)-π/2
    2×0.247507530405325-π/2
    0.49501506081065-1.57079632675     		φ = -1.07578127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59480105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -34.079590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.07578127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.637726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 53128 KachelY 94232 -0.59480105 -1.07578127 -34.079590 -61.637726
    Oben rechts KachelX + 1 53129 KachelY 94232 -0.59475311 -1.07578127 -34.076843 -61.637726
    Unten links KachelX 53128 KachelY + 1 94233 -0.59480105 -1.07580404 -34.079590 -61.639031
    Unten rechts KachelX + 1 53129 KachelY + 1 94233 -0.59475311 -1.07580404 -34.076843 -61.639031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.07578127--1.07580404) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dl = 145.06766999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.07578127--1.07580404) × R
    2.27699999999498e-05 × 6371000     		dr = 145.06766999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59480105--0.59475311) × cos(-1.07578127) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475044900725483 × 6371000     		do = 145.090940337548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59480105--0.59475311) × cos(-1.07580404) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.475024863877677 × 6371000     		du = 145.08482056848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.07578127)-sin(-1.07580404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475044900725483-0.475024863877677)×R²
    abs(-0.59475311--0.59480105)×2.00368478064927e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.00368478064927e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.00368478064927e-05×40589641000000     		ar = 21047.5607632745m²